新高考背景下基于层次分析法的高中生选科模型

新高考背景下基于层次分析法的高中生选科模型

(重庆市合川区第八届青少年科技创新大赛学生科学研究获奖论文)

摘 要

随着新高考综合改革的全面实施,选科在很大程度上会影响高考的成效.针对目前对高中生选科的指导仅停留在大数据、经验之谈等感性的表面,对于实践的指导意义并不太强,本文特对重庆市“3+1+2”新高考政策做了初步调查,确定了学科成绩、学科专业适用度、学科竞争程度这三个因素,采用层次分析法,创新地采用了归一化处理数据,使庞杂、差异巨大的三种因素数据变得有关联起来,对选择每个学科设定了权重计分算法,建立了评价模型.本文调查了部分高中生的学科成绩,选取了偏一科、偏文或理、均衡发展的三个具有代表性的学生成绩数据,利用Excel软件对数据进行处理、计算、绘制分布图,最终给出了有利于学生的选科套餐建议,降低了高中生选科的盲目性.

关键词:选科指导;层次分析法[1];评价模型

一、引言

近年来新高考改革方兴未艾,在上海等大城市进行得如火如荼.鉴于我市考生对此缺少决策经验,而目前大多数文献对高中生选科指导仅停留在定性分析,并未给具体考生明确建议,我们特对“3+1+2”新高考模式进行了初步探究,构建一个合理的评价模型,希望能帮助同学们根据自己的实际情况选择有利于自己的学科套餐.

二、问题分析

我们研究的对象为重庆市高中学生.根据《重庆市深化普通高等学校考试招生综合改革实施方案》[2].(下面简称《方案》)的要求,重庆市2018年启动普通高等学校考试招生综合改革,2021年6月参加高考的考生将按“3+1+2”模式进行.其中,语文、数学、英语这三门为必考科目,从物理或历史选一门作为首选科目,然后再从政治、地理、化学、生物四门学科中选两门计入高考总成绩.对于重庆考生而言,有12种选科套餐.因此,考生在高一就要作好生涯规划,以实现人生目标.对个人而言,科目套餐的选择至关重要,本文主要从学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度这三个因素来设定算法,帮助高中学生作出有利的决策.

三、模型假设

1.假定学生选科只参考学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度.

2.假定学生目前的学科优势和劣势会保持到高考.

3.假定学生对于学科的选择趋势保持稳定.

4.假定上海市的学生选科数据对重庆市有指导意义.

5.假定高校录取时各专业的受限情况与教育部办公厅的文件一致.

6.假定在一定时期内各专业对学科的限制是不变的,即学科的专业适用度是一个常数.

四、符号说明

本文所使用的符号含义如表1所示.

表1 本文所使用的符号说明

符号 符号说明
\(W\)、\(L\)、\(H\)、\(S\)、\(Z\)、\(D\) 物理、历史、化学、生物、政治、地理学科
\({\alpha _W}\)、\({\alpha _L}\) 物理、历史学科成绩权重分值
\({\beta _H}\)、\({\beta _S}\)、\({\beta _Z}\)、\({\beta _D}\) 化学、生物、政治、地理学科成绩权重分值
\({q_W}\)、\({q_L}\)、\({q_H}\)、\({q_S}\)、\({q_Z}\)、\({q_D}\) 物理、历史、化学、生物、政治、地理的专业适用度权重分值
\({\gamma _W}\)、\({\gamma _H}\)、\({\gamma _S}\)、\({\gamma _Z}\)、\({\gamma _L}\)、\({\gamma _D}\) 物理、化学、生物、政治、历史、地理学科竞争程度权重分值
\({\varepsilon _1}\) 学科成绩权重分值
\({\varepsilon _2}\) 学科的专业适用度权重分值
\({\varepsilon _3}\) 学科竞争程度权重分值
\(T(x,y,z)\) 某同学选择套餐\(\{ x,y,z\} \)的总分,其中\(x\)表示该同学在物理、历史中选的一科;\(y\)、\(z\)表示该同学在化学、生物、政治、地理中选的两科

 

五、模型的建立与求解

我们使用层次分析法来给学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度权重赋分.其中设定了1~9这九级标度,其含义如表2.

表2 标度的含义

标度

含义

1

A和B相比同样重要

3

A和B相比稍微重要

5

A和B相比明显重要

7

A和B相比强烈重要

9

A和B相比极端重要

2,4,6,8

上述两相邻判断的中值

倒数

A和B相比如果标度为\(n\),那么B和A相比标度就是\(\dfrac{1}{n}\)

5.1学科成绩权重分值设定

由于本市采用“3+1+2”模式选科,其中物理和历史必须2选1,其余四科4选2,故我们决定把物理和历史两科与其余四科分开进行权重分配.
首先对物理和历史进行权重分配,我们采用层次分析法,把物理和历史的成绩进行对比分析得到其标度如表3.

表3 物理、历史成绩对比

标度 物理 历史
物理 \({a_{11}}\) \({a_{12}}\)
历史 \({a_{21}}\) \( {a_{22}} \)

 

其中\({a_{ii}} = 1\),\({a_{ij}} = \dfrac{1}{{{a_{ji}}}}\)(\(i,j = 1,2\)),则在第一列中把物理的权重\(\dfrac{{{a_{11}}}}{{{a_{11}} + {a_{21}}}}\)作为第一列物理成绩的权重分值,第二列中物理成绩的权重分值为\(\dfrac{{{a_{12}}}}{{{a_{12}} + {a_{22}}}}\),然后两列物理成绩权重分值求平均值得到物理成绩的最终权重分值

\({\alpha _W} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{{{a_{11}}}}{{{a_{11}} + {a_{21}}}} + \dfrac{{{a_{12}}}}{{{a_{12}} + {a_{22}}}})\)

同理可得到历史成绩的最终权重分值为

\({\alpha _L} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{{{a_{21}}}}{{{a_{11}} + {a_{21}}}} + \dfrac{{{a_{22}}}}{{{a_{11}} + {a_{21}}}})\).

下面再对其余四科的成绩两两比较分析,得到其标度如表4.

表4 化学、生物、政治、地理成绩对比

标度 化学 生物 政治 地理
化学 \({b_{11}}\) \({b_{12}}\) \({b_{13}}\) \({b_{14}}\)
生物 \({b_{21}}\) \({b_{22}}\) \({b_{23}}\) \({b_{24}}\)
政治 \({b_{31}}\) \({b_{32}}\) \({b_{33}}\) \({b_{34}}\)
地理 \({b_{41}}\) \({b_{42}}\) \({b_{43}}\) \({b_{44}}\)

 

其中\({b_{ii}} = 1\),\({b_{ij}} = \dfrac{1}{{{b_{ji}}}}\)(\(i,j = 1,2,3,4\)),则

化学成绩的权重分值为\({\beta _H} = \dfrac{1}{4}\sum\limits_{j = 1}^4 {(\dfrac{{{b_{1j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^4 {{b_{ij}}} }}} )\),

生物成绩的权重分值为\({\beta _S} = \dfrac{1}{4}\sum\limits_{j = 1}^4 {(\dfrac{{{b_{2j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^4 {{b_{ij}}} }}} )\),

政治成绩的权重分值为\({\beta _Z} = \dfrac{1}{4}\sum\limits_{j = 1}^4 {(\dfrac{{{b_{3j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^4 {{b_{ij}}} }}} )\),

地理成绩的权重分值为\({\beta _D} = \dfrac{1}{4}\sum\limits_{j = 1}^4 {(\dfrac{{{b_{4j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^4 {{b_{ij}}} }}} )\).

5.2学科的专业适用度权重分值设定

在高考录取的时候,很多专业对学科都有要求,必须选择了某个学科才能报考相应的专业,于是我们对教育部办公厅印发的《普通高校本科招生专业选考科目要求指引(3+1+2模式)》[3]通知文件中各专业对学科的限制作了如下统计:

表5 指引(3+1+2模式)专业对学科的限制数据数据

科目 物理 历史 化学 生物 政治 地理
无学科限制的专业数量 151 151 151 151 151 151
学科适用的专业数量 50 50 50 50
37 37 37
16 16 16
10 10 10
4 4 4 4
7 7 7
137 137
72 72 72
10 10 10 10 10
10 10 10 10
15 15 15
1 1
学科适用的专业合计 519 276 465 303 209 187
学科的专业适用率 99.8% 53.2% 89.4% 58.3% 40.2% 36.1%

 

学科适用的专业数量越大,我们就认为这个学科的专业适用度权重得分越高.把学科的专业适用率进行归一化处理后的值,作为各学科的专业适用度权重分值,并求得各学科的专业适用度权重分值如表6.

表6 各学科的专业适用度权重得分

科目 物理 历史 化学 生物 政治 地理
专业适用度权重 \({q_W}\) \({q_L}\) \({q_H}\) \({q_S}\) \({q_Z}\) \({q_D}\)
权重分值 0.265 0.141 0.273 0.155 0.107 0.095

 

5.3学科竞争程度权重分值设定

由于选择人数越多,该科竞争越激烈,我们认为该科权重分值越低,因此我们可以用选择某科人数占比的倒数求权重,然后再归一化作为学科竞争程度的换算权重分.由于本市采取“3+1+2”模式,于是我们将“物理、历史”与“化学、生物、政治、地理”分开讨论.

5.3.1“物理、历史”竞争程度权重赋分

记选择物理的人数为\({X_W}\),选择历史的人数为\({X_L}\).根据“3+1+2”模式可知总人数\({X_{\rm{}}} = {X_W} + {X_L}\).由此可以算出选择物理的人数占总人数的比例\({a_W} = \dfrac{{{X_W}}}{{{X_W} + {X_L}}}\).同理可得选择历史的人数占总人数的比例\({a_L} = \dfrac{{{X_L}}}{{{X_W} + {X_L}}}\).根据上述方法,可以得到物理的权重\({\gamma _{W(1)}} = \dfrac{1}{{{a_W}}}\),历史的权重\({\gamma _{L(1)}} = \dfrac{1}{{{a_L}}}\)

归一化处理后得,物理、历史竞争程度分分别为

\[{\gamma _W} = \dfrac{{{\gamma _{W(1)}}}}{{{\gamma _{W(1)}} + {\gamma _{L(1)}}}}\],

\[{\gamma _L} = \dfrac{{{\gamma _{L(1)}}}}{{{\gamma _{W(1)}} + {\gamma _{L(1)}}}}\]

5.3.2“化学、生物、政治、地理”竞争程度权重赋分

记选择化学、生物、政治、地理的人数为\({X_H}\)、\({X_S}\)、\({X_Z}\)、\({X_D}\).根据“3+1+2”模式,可知总人数\({X_{\rm{}}} = \dfrac{{{X_H} + {X_S} + {X_Z} + {X_D}}}{2}\).由此可以算出选化学、生物、政治、地理学生的占比分别为

\({a_H} = \dfrac{{{X_H}}}{{2{X_{\rm{}}}}}\),\({a_S} = \dfrac{{{X_S}}}{{2{X_{\rm{}}}}}\),\({a_Z} = \dfrac{{{X_Z}}}{{2{X_{\rm{}}}}}\),\({a_D} = \dfrac{{{X_D}}}{{2{X_{\rm{}}}}}\)

由此可得各科的权重,即化学、生物、政治、地理的权重分别为

\({\gamma _{H(1)}} = \dfrac{1}{{{a_H}}}\)、\({\gamma _{S(1)}} = \dfrac{1}{{{a_S}}}\)、\({\gamma _{Z(1)}} = \dfrac{1}{{{a_Z}}}\)、\({\gamma _{D(1)}} = \dfrac{1}{{{a_D}}}\)

归一化处理后得,化学、生物、政治、地理竞争程度赋分分别为

\({\gamma _H} = \dfrac{{{\gamma _{H(1)}}}}{{{\gamma _{H(1)}} + {\gamma _{S(1)}} + {\gamma _{Z(1)}} + {\gamma _{D(1)}}}}\),\({\gamma _S} = \dfrac{{{\gamma _{S(1)}}}}{{{\gamma _{H(1)}} + {\gamma _{S(1)}} + {\gamma _{Z(1)}} + {\gamma _{D(1)}}}}\)

\({\gamma _Z} = \dfrac{{{\gamma _{Z(1)}}}}{{{\gamma _{H(1)}} + {\gamma _{S(1)}} + {\gamma _{Z(1)}} + {\gamma _{D(1)}}}}\),\({\gamma _D} = \dfrac{{{\gamma _{D(1)}}}}{{{\gamma _{H(1)}} + {\gamma _{S(1)}} + {\gamma _{Z(1)}} + {\gamma _{D(1)}}}}\)

5.3.4学科竞争程度权重分值设定

因为学科竞争程度受各科选择人数的影响,而各科选择人数可以认为在较长一段时间内起伏不大,所以在这里我们将各科的学科竞争程度权重转化分看成是常数.

由于本市今年第一次实行“3+1+2”模式选科制度,所以缺乏相关人数数据,我们选择了实行了多年新高考改革的上海市数据.而上海市实行的是“3+3”模式选科制度,所以数据上会有一些偏差,但从总体而言还是可以反映出各科选择人数的比例.我们查找到相关数据如表7.

表7 上海2017、2018届各科选择人数[4]

科目 2017届人数 2018届人数 两年平均人数
地理 29393 34407 31900
生物 24006 26904 25455
历史 19892 20645 20269
化学 22244 18951 20598
物理 19083 14814 16949
政治 14619 14355 14487

 

我们采用两年的平均值作为各科选择人数,将“物理、历史”与“化学、生物、政治、地理”分开讨论,通过上述算法求得:

\({\gamma _W} = 0.545\),\({\gamma _L} = 0.455\),\({\gamma _H} = 0.258\),\({\gamma _S} = 0.209\),\({\gamma _Z} = 0.367\),\({\gamma _D} = 0.166\)

5.4三因素权重设定

由于我们选定的三方面因素对一学生的重要程度不同,因此我们仍然采用层次分析法计算其权重.学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度的重要程度对比如表8.

表8 三因素重要程度对比

标度 学科成绩 学科的专业适用度 学科竞争程度
学科成绩 \({\varepsilon _{11}}\) \({\varepsilon _{12}}\) \({\varepsilon _{13}}\)
学科的专业适用度 \({\varepsilon _{21}}\) \({\varepsilon _{22}}\) \({\varepsilon _{23}}\)
学科竞争程度 \({\varepsilon _{31}}\) \({\varepsilon _{32}}\) \({\varepsilon _{33}}\)

 

其中\({\varepsilon _{ii}} = 1\),\({\varepsilon _{ij}} = \dfrac{1}{{{\varepsilon _{ji}}}}\)(\(i,j = 1,2,3\)),则学科成绩的权重为\({\varepsilon _1} = \dfrac{1}{3}\sum\limits_{j = 1}^3 {(\dfrac{{{\varepsilon _{1j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^3 {{\varepsilon _{ij}}} }}} )\),学科专业适用度的权重为\({\varepsilon _2} = \dfrac{1}{3}\sum\limits_{j = 1}^3 {(\dfrac{{{\varepsilon _{2j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^3 {{\varepsilon _{ij}}} }}} )\),学科竞争程度的权重为\({\varepsilon _3} = \dfrac{1}{3}\sum\limits_{j = 1}^3 {(\dfrac{{{\varepsilon _{3j}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^3 {{\varepsilon _{ij}}} }}} )\).

5.5选科套餐总分计算

对于某一选科套餐,我们将三种因素根据各自算法得到其总分,并分别乘该因素权重,再对其求和,得到某同学选科套餐的总分为

\(T\left( {x,y,z} \right) = {\varepsilon _1} \cdot ({\alpha _x} + {\beta _y} + {\beta _z}) + {\varepsilon _2} \cdot ({q_x} + {q_y} + {q_z}) + {\varepsilon _3} \cdot ({\gamma _x} + {\gamma _y} + {\gamma _z})\)

其中\(x \in \{ W,L\} \),\(y,z \in \{ H,S,Z,D\} \)

六、模型检验

我们分析了学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度的重要性,给出如下数据(表9).

表9 三个因素两两比的标度

标度 学科成绩 学科的专业适用度 学科竞争程度
学科成绩 \(1\) \(9/2\) \(9/2\)
学科的专业适用度 \(2/9\) \(1\) \(1\)
学科竞争程度 \(2/9\) \(1\) \(1\)

 

通过表中的数据,利用我们的模型计算得到

\({\varepsilon _1} = 0.692\),\({\varepsilon _2} = 0.154\),\({\varepsilon _3} = 0.154\)

对于建立的模型,我们通过问卷调查,选取了三个比较有代表性的同学,统计了他们学科成绩的平均值,如表10.

表10 学生学科成绩

学科 物理 历史 化学 生物 政治 地理
甲同学成绩 80 96 76 87 83 79
乙同学成绩 100 75 97 98 68 80
丙同学成绩 97 90 93 92 85 95

 

根据学生的学科成绩,利用我们建立的模型,可以计算得到这三位同学选择各学科的最终得分,如表11.

表11 学生各学科最终得分

选择学科 物理 历史 化学 生物 政治 地理
甲最终得分 0.4396 0.468924 0.24301 0.241512 0.250148 0.20835
乙最终得分 0.519872 0.388652 0.27761 0.253968 0.210012 0.20143
丙最终得分 0.483888 0.424636 0.258234 0.23044 0.234232 0.220114

 

把所有可选的三个科目最终得分加起来得到他们的选科套餐总分,数据如表12.

表12 学生各学科最终得分

选科套餐 甲同学 乙同学 丙同学
物理+化学+生物 0.924122 1.05145 0.972562
物理+化学+政治 0.932758 1.007494 0.976354
物理+化学+地理 0.890960 0.998912 0.962236
物理+生物+政治 0.931260 0.983852 0.948560
物理+生物+地理 0.889462 0.975270 0.934442
物理+政治+地理 0.898098 0.931314 0.938234
历史+化学+生物 0.953446 0.920230 0.913310
历史+化学+政治 0.962082 0.876274 0.917102
历史+化学+地理 0.920284 0.867692 0.902984
历史+生物+政治 0.960584 0.852632 0.889308
历史+生物+地理 0.918786 0.84405 0.875190
历史+政治+地理 0.927422 0.800094 0.878982

 

再并把所得的数据绘制成选科套餐得分分布图,如图1、图2、图3.

新高考背景下基于层次分析法的高中生选科模型

对于甲同学,选择有历史学科的套餐普遍高于有物理学科的套餐,其中选择“历史+化学+政治”套餐的分数最高,如果仅从学科成绩来看,选“历史+生物+政治”分数最高,说明化学的专业适用和学科竞争更具优势,符合实际情况.

新高考背景下基于层次分析法的高中生选科模型

对于乙同学,选择含物理学科的套餐得分明显高于含历史学科的套餐,其中“物理+化学+生物”套餐的分数最高,如果仅从学科成绩来看,选“物理+化学+生物”分数最高,符合实际情况.

新高考背景下基于层次分析法的高中生选科模型

丙同学的成绩较为均衡,从图3可以看出,各套餐分数差异不是很大,其中“物理+化学+政治”套餐的分数最高,如果仅从学科成绩来看,选“物理+化学+地理”分数最高,说明政治比地理在专业限制或学科竞争上更具优势,同样符合实际情况.

七、模型评价与改进

7.1模型优点

我们的模型对三种因素的数据都作了归一化处理,可以克服因某个因素的设置不当而导致另外两个因素对结果毫无影响。我们的模型得出了数值结果,可以帮助高中学生理性选择学科套餐。如果只有定性的结果,常常不容易被人接受。根据检验可知,该模型在假定较为合理的前提下具有价值,可指导学生根据已有经验与自身实际情况紧密结合,进而做出最优选择,对生涯规划具有重要指导意义.

7.2模型缺点

本模型也存在如下问题:

1.由于重庆市要2021年才实行“3+1+2”考试模式,目前还没有进行新高考,无法收集重庆市的数据,因此我们只有收集到实上海市的相关数据.上海市实行的是“3+3”模式,上海市的数据与重庆市的数据应该有一定的差异,因此,本模型并不能完全体现重庆市的全部信息.

2.学生个人发展是变量,具有发展的不可预见性.

3.学科选择趋势是会因社会环境及心理变化而改变.

4.学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度这三个因素的重要程度的设定具有人为性,会对最终的结果产生一定的结果,可以专家群设定.

7.3模型改进

针对此模型的缺陷与不足,我们可根据未来几年实践得出的“3+1+2”具体数据加以改进,并通过更多个人数据及社会数据对比找出变量发展变化趋势,从而得出更加准确的结果,在多组数据下进行一致性检验,确保误差足够小.对于学科成绩、学科的专业适用度、学科竞争程度这三个因素的权重设定,可以通过大数据来设定一个更为合理的值,或者请专家群设定.事实上,学生的学科成绩是在不断变化的,我们可以加入“选物理或历史对选其余四科发展的影响”这一因素来研究,对学生选科的指导意义会更大.

参考文献

[1] 刘新宪、朱道立,选择与判断,上海科学普及出版社,1990.2.

[2] 重庆市人民政府,《重庆市深化普通高等学校考试招生综合改革实施方案的通知》,
http://www.cq.gov.cn/publicity/kjjy/jy/586458,2019年12月13日.

[3] 教育部办公厅,《普通高校本科招生专业选考科目要求指引(3+1+2模式)》.

[4] 梯方在线微博,《上海新高考近2年加三选科数据详细分析》,http://www.sohu.com/a/331442464_100155077,2019年12月13日.

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/02/11/154/

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