子集个数问题

基本理论：集合\(\{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} \)的所有子集的个数为\({2^n}\)，其推导方法可以利用“分步乘法计数原理”，也就是完成一件事情如果是分\(n\)步完成，每一步的方法数分别是：\({m_1},{m_2}, \cdots {m_n}\)，则完成这件事情的方法总数为\({m_1} \times {m_2} \times \cdots \times {m_n}\)．

［推导］设集合\(A = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} \)，要确定集合\(A\)的子集中的元素有哪些，需要分\(n\)步完成：第一步，确定\({x_1}\)是否在集合\(A\)的子集中，要么在，要么不在，有\(2\)种方法；第二步，确定\({x_2}\)是否在集合\(A\)的子集中，有\(2\)种方法；\( \cdots \)；第\(n\)步，确定\({x_n}\)是否在集合\(A\)的子集中，有\(2\)种方法。利用“分步乘法计数原理”可知，集合\(A\)的子集共有\[\underbrace {2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n{\rm{
个}}} = {2^n}\]个。

［案例1］已知\(\{ 1,2\} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \)，则满足条件的集合\(A\)共有_______个．

［分析］

\(\{ 1,2\} \subseteq A \)的含义：\(1\)、\(2\)都在\(A\)中，且\(A\)中除了\(1\)、\(2\)之外，可能还有其他元素，从\(A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \)可知，这些元素只能来自\(3,4,5,6\)

最终，\(\{ 1,2\} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \)等价于\(A = \underbrace {\{ 1,2\} }_{{\rm{
固定部分}}} \cup \underbrace {\{ 3,4,5,6\} {\rm{
的子集}}}_{{\rm{
浮动部分}}}\)。因此集合\(A\)的个数，与集合\(\{ 3,4,5,6\} \)的子集个数一样多，即为\({2^4} = 16\)

［案例2］已知\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \)，则满足条件的集合\(A\)共有_______个．

［分析］

对\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \)的理解：\(0\)一定在\(A\)中，因为\(\{ 1,2\} \)中没有\(0\)，只能来自于集合\(A\)。另外\(A\)中还可能有其他元素，但一定要包含在集合\(\{ 1,2\} \)中。于是

\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \)等价于\(A = \underbrace {\{ 0\} }_{{\rm{
固定部分}}} \cup \underbrace {\{ 1,2\} {\rm{
的子集}}}_{{\rm{
浮动部分}}}\)，

因此集合\(A\)的个数，与集合\(\{ 1,2\} \)的子集个数一样多，即共有\({2^2} = 4\)个．

［小结］对集合语言的理解与转化是解决本题的关键，同学们应该多学习各种语言的相互转化！