子集个数问题

基本理论:集合\(\{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} \)的所有子集的个数为\({2^n}\),其推导方法可以利用“分步乘法计数原理”,也就是完成一件事情如果是分\(n\)步完成,每一步的方法数分别是:\({m_1},{m_2}, \cdots {m_n}\),则完成这件事情的方法总数为\({m_1} \times {m_2} \times \cdots \times {m_n}\).

子集个数问题

[推导]设集合\(A = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} \),要确定集合\(A\)的子集中的元素有哪些,需要分\(n\)步完成:第一步,确定\({x_1}\)是否在集合\(A\)的子集中,要么在,要么不在,有\(2\)种方法;第二步,确定\({x_2}\)是否在集合\(A\)的子集中,有\(2\)种方法;\( \cdots \);第\(n\)步,确定\({x_n}\)是否在集合\(A\)的子集中,有\(2\)种方法。利用“分步乘法计数原理”可知,集合\(A\)的子集共有\[\underbrace {2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n{\rm{
个}}} = {2^n}\]个。

[案例1]已知\(\{ 1,2\} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \),则满足条件的集合\(A\)共有_______个.

[分析]

\(\{ 1,2\} \subseteq A \)的含义:\(1\)、\(2\)都在\(A\)中,且\(A\)中除了\(1\)、\(2\)之外,可能还有其他元素,从\(A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \)可知,这些元素只能来自\(3,4,5,6\)

最终,\(\{ 1,2\} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3,4,5,6\} \)等价于\(A = \underbrace {\{ 1,2\} }_{{\rm{
固定部分}}} \cup \underbrace {\{ 3,4,5,6\} {\rm{
的子集}}}_{{\rm{
浮动部分}}}\)。因此集合\(A\)的个数,与集合\(\{ 3,4,5,6\} \)的子集个数一样多,即为\({2^4} = 16\)

[案例2]已知\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \),则满足条件的集合\(A\)共有_______个.

[分析]

对\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \)的理解:\(0\)一定在\(A\)中,因为\(\{ 1,2\} \)中没有\(0\),只能来自于集合\(A\)。另外\(A\)中还可能有其他元素,但一定要包含在集合\(\{ 1,2\} \)中。于是

\(A \cup \{ 1,2\} = \{ 0,1,2\} \)等价于\(A = \underbrace {\{ 0\} }_{{\rm{
固定部分}}} \cup \underbrace {\{ 1,2\} {\rm{
的子集}}}_{{\rm{
浮动部分}}}\),

因此集合\(A\)的个数,与集合\(\{ 1,2\} \)的子集个数一样多,即共有\({2^2} = 4\)个.

[小结]对集合语言的理解与转化是解决本题的关键,同学们应该多学习各种语言的相互转化!

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/11/13/321/

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