含参一元二次不等式的解法

解含有参数的不等式，本质上仍然是解不等式，我们应该按照该类不等式的通法求解。只是在求解过程中，如果参数对下一步操作有影响了，这时就该对参数进行讨论。解一元二次不等式的基本流程是：

\({\rm{标准化}} \to \begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{能分解：利用十字相乘法分解因式}}}\\{{\rm{不能分解：用求根公式求根}}}\end{array} \to {\rm{写结果}}\left\{ \begin{array}{l}>0{\rm{：两根之外}}\\<0{\rm{：两根之间}}\end{array} \right.\)

影响解答的第一步，标准化，这时需要考虑二次项系数的正负或是否为0；

最后结果是两根之间或两根之外，因此要考虑两根的大小，这是可以用判别式为0或两根相等，找到参数分类讨论的分界值。下面从两类不等式的解法进行探讨：

（1） 类型一：能用十字相乘法分解因式

以解关于\(x\)的不等式\(a{x^2} – 2 \ge 2x – ax\)（\(a \in R\)）为例：

分析：

先用十字相乘法分解因式\((ax – 2)(x + 1) \ge 0\)，然后分\(a<0,a = 0,a>0\)讨论

① 当\(a<0\)时，［标准化——把\(x\)的系数化为\(1\)］\((x – \dfrac{2}{a})(x + 1) \le 0\)，［其解集是两根之间，先看看两根\(\dfrac{2}{a}, – 1\)，当两根相等时，\(a = – 2\)，由于\(a = – 2\)在\(a<0\)范围内，因此还要分情况讨论：］

1） 当\(a< – 2\)时，［判断根的大小：取特值检验即可］\(\dfrac{2}{a}> – 1\)，解集为\(\{ x| – 1 \le x \le \dfrac{2}{a}\} \)

2） 当\(a = – 2\)时，［直接代入上级不等式中］\({(x + 1)^2} \le 0\)，解集为\(\{ – 1\} \)

3） 当\( – 2<a<0\)时，［判断根的大小：取特值检验即可］\(\dfrac{2}{a}< – 1\)，解集为\(\{ x|\dfrac{2}{a} \le x \le – 1\} \)

② 当\(a = 0\)时，［直接代入上级不等式中］\( – 2(x + 1) \ge 0\)，解集为\(\{ x|x \le – 1\} \)

③ 当\(a>0\)时，［标准化——把\(x\)的系数化为\(1\)］\((x – \dfrac{2}{a})(x + 1) \ge 0\)，［其解集是两根之外，先看看两根\(\dfrac{2}{a}, – 1\)，当两根相等时，\(a = – 2\)，由于\(a = – 2\)不在\(a>0\)范围内，因此不需再讨论．此时，直接判断根的大小］\(\dfrac{2}{a}> – 1\)，解集为\(\{ x|x \le – 1\)或\(x \ge \dfrac{2}{a}\} \)

小结：主要流程为：分解因式\( \to \)标准化［系数化为\(1\)］\( \to \)判断根的大小\( \to \)写结果

（2） 若不能用十字相乘法分解因式：计算判别式\(\Delta \)，分\(\Delta <0,\Delta = 0,\Delta >0\)讨论

以解不等式\(a{x^2} + ax – 1<0\)为例．

分析：

由于不能用十字相乘法分解，这里得考虑判别式\(\Delta = {a^2} + 4a\)，同时还得考虑\(a\)的正负

① 当\(a<0\)时，［标准化：二次项系数化为正］\( – a{x^2} – ax + 1>0\)，［此时解在两根之外，先看看\(\Delta = 0\)时，\(a = 0\)或\(a = – 4\)，由于\(a = – 4\)在\(a<0\)内，因此还要分情况讨论］

1） 当\(a< – 4\)时，［判断\(\Delta \)的大小：取特值判断即可］\(\Delta = {a^2} + 4a>0\)，［用求根公式求出对应方程的根］方程\(a{x^2} + ax – 1 = 0\)的两根为\({x_1} = \dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)，\({x_2} = \dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)，［判断根的大小：分子减比加小，由于分母为负，分子大的反而小］\({x_1}>{x_2}\)，解集为\(\{ x|x<\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)或\(x>\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\} \)

2） 当\(a = – 4\)时，［直接代入上级不等式中］\(4{x^2} + 4x + 1>0 \Leftrightarrow {(2x + 1)^2}>0 \Leftrightarrow x \ne – \dfrac{1}{2}\)

3） 当\( – 4<a<0\)时，［判断\(\Delta \)的大小：取特值判断即可］\(\Delta = {a^2} + 4a<0\)，［结合对应二次函数的图象思考］解集为\(R\)

② 当\(a = 0\)时，［直接代入上级不等式中］\( – 1<0\)，解集为\(R\)

③ 当\(a>0\)时，［已经是标准化的，不作任何操作，直接判断\(\Delta \)的大小：取特值判断即可］\(\Delta = {a^2} + 4a>0\)，［用求根公式求出对应方程的根］方程\(a{x^2} + ax – 1 = 0\)的两根为\({x_1} = \dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)，\({x_2} = \dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)，［判断根的大小：分子减比加小，由于分母为正，分子大的大］\({x_1}<{x_2}\)，解集为\(\{ x|\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}<x<\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\} \)

由于有些情况答案形式是统一的，因此有必要总结一下：

当\(a \le – 4\)时，解集为\(( – \infty ,\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}) \cup (\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}, + \infty )\)；

当\( – 4<a \le 0\)时，解集为\(R\)；

当\(a>0\)时，解集为\((\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}},\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}})\).