含参一元二次不等式的解法

解含有参数的不等式,本质上仍然是解不等式,我们应该按照该类不等式的通法求解。只是在求解过程中,如果参数对下一步操作有影响了,这时就该对参数进行讨论。解一元二次不等式的基本流程是:

\({\rm{标准化}} \to \begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{能分解:利用十字相乘法分解因式}}}\\{{\rm{不能分解:用求根公式求根}}}\end{array} \to {\rm{写结果}}\left\{ \begin{array}{l}>0{\rm{:两根之外}}\\<0{\rm{:两根之间}}\end{array} \right.\)

影响解答的第一步,标准化,这时需要考虑二次项系数的正负或是否为0;

最后结果是两根之间或两根之外,因此要考虑两根的大小,这是可以用判别式为0或两根相等,找到参数分类讨论的分界值。下面从两类不等式的解法进行探讨:

(1) 类型一:能用十字相乘法分解因式

以解关于\(x\)的不等式\(a{x^2} – 2 \ge 2x – ax\)(\(a \in R\))为例:

分析:

先用十字相乘法分解因式\((ax – 2)(x + 1) \ge 0\),然后分\(a<0,a = 0,a>0\)讨论

① 当\(a<0\)时,[标准化——把\(x\)的系数化为\(1\)]\((x – \dfrac{2}{a})(x + 1) \le 0\),[其解集是两根之间,先看看两根\(\dfrac{2}{a}, – 1\),当两根相等时,\(a = – 2\),由于\(a = – 2\)在\(a<0\)范围内,因此还要分情况讨论:]

1) 当\(a< – 2\)时,[判断根的大小:取特值检验即可]\(\dfrac{2}{a}> – 1\),解集为\(\{ x| – 1 \le x \le \dfrac{2}{a}\} \)

2) 当\(a = – 2\)时,[直接代入上级不等式中]\({(x + 1)^2} \le 0\),解集为\(\{ – 1\} \)

3) 当\( – 2<a<0\)时,[判断根的大小:取特值检验即可]\(\dfrac{2}{a}< – 1\),解集为\(\{ x|\dfrac{2}{a} \le x \le – 1\} \)

② 当\(a = 0\)时,[直接代入上级不等式中]\( – 2(x + 1) \ge 0\),解集为\(\{ x|x \le – 1\} \)

③ 当\(a>0\)时,[标准化——把\(x\)的系数化为\(1\)]\((x – \dfrac{2}{a})(x + 1) \ge 0\),[其解集是两根之外,先看看两根\(\dfrac{2}{a}, – 1\),当两根相等时,\(a = – 2\),由于\(a = – 2\)不在\(a>0\)范围内,因此不需再讨论.此时,直接判断根的大小]\(\dfrac{2}{a}> – 1\),解集为\(\{ x|x \le – 1\)或\(x \ge \dfrac{2}{a}\} \)

小结:主要流程为:分解因式\( \to \)标准化[系数化为\(1\)]\( \to \)判断根的大小\( \to \)写结果

(2) 若不能用十字相乘法分解因式:计算判别式\(\Delta \),分\(\Delta <0,\Delta = 0,\Delta >0\)讨论

以解不等式\(a{x^2} + ax – 1<0\)为例.

分析:

由于不能用十字相乘法分解,这里得考虑判别式\(\Delta = {a^2} + 4a\),同时还得考虑\(a\)的正负

① 当\(a<0\)时,[标准化:二次项系数化为正]\( – a{x^2} – ax + 1>0\),[此时解在两根之外,先看看\(\Delta = 0\)时,\(a = 0\)或\(a = – 4\),由于\(a = – 4\)在\(a<0\)内,因此还要分情况讨论]

1) 当\(a< – 4\)时,[判断\(\Delta \)的大小:取特值判断即可]\(\Delta = {a^2} + 4a>0\),[用求根公式求出对应方程的根]方程\(a{x^2} + ax – 1 = 0\)的两根为\({x_1} = \dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\),\({x_2} = \dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\),[判断根的大小:分子减比加小,由于分母为负,分子大的反而小]\({x_1}>{x_2}\),解集为\(\{ x|x<\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\)或\(x>\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\} \)

2) 当\(a = – 4\)时,[直接代入上级不等式中]\(4{x^2} + 4x + 1>0 \Leftrightarrow {(2x + 1)^2}>0 \Leftrightarrow x \ne – \dfrac{1}{2}\)

3) 当\( – 4<a<0\)时,[判断\(\Delta \)的大小:取特值判断即可]\(\Delta = {a^2} + 4a<0\),[结合对应二次函数的图象思考]解集为\(R\)

② 当\(a = 0\)时,[直接代入上级不等式中]\( – 1<0\),解集为\(R\)

③ 当\(a>0\)时,[已经是标准化的,不作任何操作,直接判断\(\Delta \)的大小:取特值判断即可]\(\Delta = {a^2} + 4a>0\),[用求根公式求出对应方程的根]方程\(a{x^2} + ax – 1 = 0\)的两根为\({x_1} = \dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\),\({x_2} = \dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\),[判断根的大小:分子减比加小,由于分母为正,分子大的大]\({x_1}<{x_2}\),解集为\(\{ x|\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}<x<\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}\} \)

由于有些情况答案形式是统一的,因此有必要总结一下:

当\(a \le – 4\)时,解集为\(( – \infty ,\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}) \cup (\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}}, + \infty )\);

当\( – 4<a \le 0\)时,解集为\(R\);

当\(a>0\)时,解集为\((\dfrac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}},\dfrac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 4a} }}{{2a}})\).

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/11/14/341/

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