指底互换比大小，取对同构用单调

指底互换比大小，取对同构用单调。

【例1】比较\({9^{10}}\)与\({10^9}\)的大小．

【解析】设\(a = {9^{10}}\)，\(b = {10^9}\)，直接计算比较复杂，也不是通法。

复杂指数问题常用的手段是取对数。即：\(\ln a = 10\ln 9\)，\(\ln b = 9\ln 10\)

下面化为同构：\(\dfrac{{\ln a}}{{90}} = \dfrac{{\ln 9}}{9},\dfrac{{\ln b}}{{90}} = \dfrac{{\ln 10}}{{10}}\)

构造函数：\(f(x) = \dfrac{{\ln x}}{x}(x>0)\)，则\(f'(x) = \dfrac{{\dfrac{1}{x} \cdot x – \ln x}}{{{x^2}}} = \dfrac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}}\)

注意到，\(1 – \ln x\)在\((0, + \infty )\)上单调递减，且零点为\(e\)

故当\(0<x<e\)时，\(1 – \ln x>0\)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(x>e\)时，\(1 – \ln x<0\)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减．

\(\because e<9<10,\therefore f(9)>f(10)\)，即\(\dfrac{{\ln 9}}{9}>\dfrac{{\ln 10}}{{10}}\)

故\(\dfrac{{\ln a}}{{90}}>\dfrac{{\ln b}}{{90}}\)，从而\(a>b\)

【变式】比较\({3^\pi }\)与\({\pi ^3}\)的大小．

【分析】令\(a = {3^\pi },b = {\pi ^3}\)，取对数得\(\ln a = \pi \ln 3,\ln b = 3\ln \pi \)

化为同构：​\( \dfrac{{\ln a}}{{3\pi }} = \dfrac{{\ln 3}}{3},\dfrac{{\ln b}}{{3\pi }} = \dfrac{{\ln \pi }} {\pi }， \)​由【例1】函数的单调性及\(e<3<\pi \)可知，\(f(3)>f(\pi )\)

从而\(a>b\)．