互为反函数的两函数公切线问题

[引理]互为反函数的两函数若存在两条公切线,则这两条公切线的斜率互为导数.

设函数$y=f(x)$的反函数为$y={{f}^{-1}}(x)$,设曲线$y=f(x)$在点$A$、$B$处的切线分别与曲线$y={{f}^{-1}}(x)$相切于点$C$、$D$.

互为反函数的两函数公切线问题

设直线$AC$的方程为$y=kx+m$,其斜率为$k$,由于互为反函数的两个函数图像关于直线$y=x$对称,因此它们的两条公切线$AC$与$BD$也关于直线$y=x$对称,故直线$BD$的方程为$x=ky+m$,其斜率为$\dfrac{1}{k}$

事实上,设$P(x,y)$为直线$BD$上任意一点,则$P(x,y)$关于直线$y=x$对称的点$Q(y,x)$在直线$AC$上,$Q(y,x)$代入直线$AC$方程得$x=ky+m$,即直线$BD$的方程为$x=ky+m$.

从而${{k}_{AC}}\cdot {{k}_{BD}}=1$

这里按照求轨迹方程的基本步骤:设点$\to $列式$\to $化简,用到了点$(a,b)$关于直线$y=x$对称的点为$(b,a)$.当然,我们也可以利用几何方法证明:关于直线$y=x$对称的两直线,若斜率都存在,则斜率乘积为$1$.

如图所示:

互为反函数的两函数公切线问题

设直线$AB$、$CD$关于直线$y=x$对称,倾斜角分别为$\alpha $、$\beta $.则
$45{}^\circ -\alpha =\beta -45{}^\circ $,即$\alpha +\beta =90{}^\circ $
$\therefore {{k}_{AB}}\cdot {{k}_{CD}}=\tan \alpha \cdot \tan \beta =1$

[应用举例]已知曲线$y=\ln x$在$A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$,$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$两点处的切线分别与曲线$y={{e}^{x}}$相切于$C({{x}_{3}},{{y}_{3}})$,$D({{x}_{4}},{{y}_{4}})$,则${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}$的值为( )

A.$1$          B.$2$          C.$\dfrac{5}{2}$          D.$\dfrac{17}{4}$

互为反函数的两函数公切线问题

[解析]$y=\ln x\Rightarrow {y}’=\dfrac{1}{x}$,$y={{e}^{x}}\Rightarrow {y}’={{e}^{x}}$,则
${{k}_{AC}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}={{e}^{{{x}_{3}}}}=\dfrac{{{e}^{{{x}_{3}}}}-\ln {{x}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}$;${{k}_{BD}}=\dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{e}^{{{x}_{4}}}}=\dfrac{{{e}^{{{x}_{4}}}}-\ln {{x}_{2}}}{{{x}_{4}}-{{x}_{2}}}$

故${{y}_{3}}{{y}_{4}}={{e}^{{{x}_{3}}}}{{e}^{{{x}_{4}}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}\cdot \dfrac{1}{{{x}_{2}}}$

由[引理]知${{k}_{AC}}\cdot {{k}_{BD}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}\cdot \dfrac{1}{{{x}_{2}}}=1$,故${{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$

从而${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2$

选B.

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/03/11/290/

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