三角幂函遇指函，分母指函求导易

三角幂函遇指函，分母指函求导易。

【例】已知函数\(f(x) = {e^x} – \sin x – \cos x\)，\(g(x) = {e^x} + \sin x + \cos x\)．

（1）证明：当\(x> – \dfrac{{5\pi }}{4}\)时，\(f(x) \ge 0\)；

（2）若\(g(x) \ge 2 + ax\)，求\(a\)．

【解析】（1）令\(h(x) = \dfrac{{f(x)}}{{{e^x}}} = 1 – \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{{e^x}}}\)（\(x> – \dfrac{{5\pi }}{4}\)），

则\(h'(x) = \dfrac{{2\sin x}}{{{e^x}}}\)

【问题1】什么时候一定有\({e^x}>\sin x + \cos x\)？

注意到当\(x> – \dfrac{{5\pi }}{4}\)时，\(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \dfrac{\pi }{4}) \in [ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]\)，

\({e^{\dfrac{\pi }{2}}}>e>\sqrt 2 \)，因此当\(x>\dfrac{\pi }{2}\)时，一定有\({e^x}>\sin x + \cos x\)。

于是可以分下面的情况讨论：

当\( – \dfrac{{5\pi }}{4}<x< – \pi \)时，\(\sin x>0\)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增；

当\( – \pi <x<0\)时，\(\sin x<0\)，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；

当\(0<x<\dfrac{\pi }{2}\)时，\(\sin x>0\)，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增．

①当\( – \dfrac{{5\pi }}{4} \le x \le \dfrac{\pi }{2}\)时，\(h{(x)_{\min }} = \min \{ h( – \dfrac{{5\pi }}{4}),h(0)\} \)，

注意到\(h( – \dfrac{{5\pi }}{4}) = 1,h(0) = 0\)

从而当\( – \dfrac{{5\pi }}{4}<x \le \dfrac{\pi }{2}\)时，\(h(x) \ge 0\)

②当\(x>\dfrac{\pi }{2}\)时，\(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \dfrac{\pi }{4}) \le \sqrt 2 \)，\({e^x}>{e^{\dfrac{\pi }{2}}}>e>\sqrt 2 \)，

故\(\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{{e^x}}}<1\)，\(\therefore h(x)>0\)

综上所述，当\(x> – \dfrac{{5\pi }}{4}\)时，\(h(x) \ge 0\)，即\(f(x) \ge 0\)

（2）令\(\varphi (x) = 1 + \dfrac{{\sin x + \cos x – 2 – ax}}{{{e^x}}}\)，则​\( \varphi ‘(x) = \dfrac{{ – 2\sin x – a + 2 + ax}}{{{e^x}}} \)​

注意到\(\varphi (0) = 0\)，则\(\varphi (x) \ge 0 = \varphi (0)\)恒成立

故\(\varphi (x)\)在\(x = 0\)处取得最小值，由于\(\varphi (x)\)在\(R\)上连续可导，

故\(\varphi (x)\)在\(x = 0\)处取得极小值，从而\(\varphi ‘(0) = 0\)，解得\(a = 2\)

另一方面，当\(a = 2\)时，\(\varphi {‘}(x) = \dfrac{{ – 2\sin x + 2x}}{{{e^x}}}\)

令\(u(x) = – 2\sin x + 2x\)，则\(u'(x) = – 2\cos x + 2 \ge 0\)

\(\therefore u(x)\)在\(R\)上单调递增，注意到\(u(0) = 0\)，

故当\(x<0\)时，\(u(x)<0\)，\(\varphi ‘(x)<0\)，\(\varphi (x)\)单调递减；

当\(x>0\)时，\(u(x)>0\)，\(\varphi ‘(x)>0\)，\(\varphi (x)\)单调递增．

\(\therefore \varphi (x) \ge \varphi (0) = 0\)恒成立

综上所述，\(a\)的值为\(2\)