利用计数原理进行三项展开

【例题】\((1+x-2x^2)^5\)展开式中的\(x^6\)的系数为_______.

【解析】利用多项式乘法法则及计数原理解决此问题：

\((1+x-2x^2)^5=(1+x-2x^2)(1+x-2x^2)(1+x-2x^2)(1+x-2x^2)(1+x-2x^2)\)

\(5\)个括号各取一项出来相乘便得到展开式中的一项（未合并）

为了得到\(x^6\)，有以下情况：

\(（1）3\)个取\(-2x^2\)，\(2\)个取\(1\),结果：\(C_5^3(-2x^2)^3\)

\(（2）2\)个取\(-2x^2\)，\(2\)个取\(1\)，\(1\)个取\(1\),结果：\(C_5^2(-2x^2)^2C_3^2x^2\)

\(（3）1\)个取\(-2x^2\)，\(4\)个取\(x\),结果：\(C_5^1(-2x^2) \cdot x^4\)

故展开式中含\(x^6\)的项为\(C_5^3(-2x^2)^3+C_5^2(-2x^2)^2C_3^2x^2+C_5^1(-2x^2) \cdot x^4=30x^6\)

即展开式中的\(x^6\)的系数为\(30\)