函数的对称性

1.轴对称\( f(a+x)=f(b-x)恒成立\Longleftrightarrow f(x)的图象关于直线x=\dfrac{a+b}{2}对称 \)

【推导】

\[ 设x_1=a+x,x_2=b-x,则条件转化为f(x_1)=f(x_2)且\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{a+b}{2},\]

\[ 由中点坐标公式知点(x_1,f(x_1))与点(x_2,f(x_2))关于直线x=\dfrac{a+b}{2}对称 \]

2.中心对称\( f(a+x)+f(b-x)=c恒成立\Longleftrightarrow f(x)的图象关于点(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2})对称 \)

【推导】

\[ 令x_1=a+x,x_2=b-x,则f(x_1)+f(x_2)=c,且x_1+x_2=a+b \]

根据中点坐标公式知,得证

3.他对称

\[ y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=\dfrac{b-a}{2}对称 \]

【推导】

\[ 设函数f(a+x)过点A(x_1,f(a+x_1)),函数f(b-x)过点B(x_2,f(b-x_2)) ,则\]

\[ 当a+x_1=b-x_2时,f(a+x_1)=f(b-x_2) \]

由中点坐标公式知

\[ A、B关于直线x=\dfrac{b-a}{2}对称 \]

注:函数的对称问题,本质上是点的对称,因此根据条件,构造目标函数上的点是关键。

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