不同名三角函数的平移

【例题】为了得到函数​\( y=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{4}) \)​的图象，只需将函数​\( y=2\sin2x \)​的图象（    ）

A.向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位

B.向右平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位

C.向左平移​\( \dfrac{\pi}{4} \)​个单位

D.向右平移​\( \dfrac{\pi}{4} \)​个单位

【解析】

法一：抓住最高点的变化情况，即找正、余弦为1的点，且最靠近原点的点

平移前：​\( \sin2x=1\longrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}\longrightarrow x=\dfrac{\pi}{4} \)​

平移后：​\( \cos(2x-\dfrac{\pi}{4})=1\longrightarrow 2x-\dfrac{\pi}{4}=0\longrightarrow x=\dfrac{\pi}{8} \)​

因此，向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位，选A

法二：先写出变换流程，并化为同名，最好化为余弦型

​\( y=2\sin2x\longrightarrow y=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{4}) \)​

​\( y=2\sin2x=2\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{2}) \)​

找到对应的变量替换：​\( 2x-\dfrac{\pi}{2}\longrightarrow2x-\dfrac{\pi}{4} \)​，即\( 2x\longrightarrow2x+\dfrac{\pi}{4} \)​，\( x\longrightarrow x+\dfrac{\pi}{8} \)​

再利用左右平移法则：左+右-，可知“向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位”，故选A

【点评】改变函数名称的诱导公式：

\[ \sin{x} = \cos(\dfrac{\pi}{2}-x),\cos{x}=\sin{(\dfrac{\pi}{2}-x)} \]

要保证改变函数名称，同时前面系数又不产生负号，选用余弦，因为余弦函数是偶函数。