不同名三角函数的平移

【例题】为了得到函数​\( y=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{4}) \)​的图象,只需将函数​\( y=2\sin2x \)​的图象(    )

A.向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位

B.向右平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位

C.向左平移​\( \dfrac{\pi}{4} \)​个单位

D.向右平移​\( \dfrac{\pi}{4} \)​个单位

【解析】

法一:抓住最高点的变化情况,即找正、余弦为1的点,且最靠近原点的点

平移前:​\( \sin2x=1\longrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}\longrightarrow x=\dfrac{\pi}{4} \)

平移后:​\( \cos(2x-\dfrac{\pi}{4})=1\longrightarrow 2x-\dfrac{\pi}{4}=0\longrightarrow x=\dfrac{\pi}{8} \)

因此,向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位,选A

法二:先写出变换流程,并化为同名,最好化为余弦型

\( y=2\sin2x\longrightarrow y=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{4}) \)

\( y=2\sin2x=2\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)=2\cos(2x-\dfrac{\pi}{2}) \)

找到对应的变量替换:​\( 2x-\dfrac{\pi}{2}\longrightarrow2x-\dfrac{\pi}{4} \)​,即\( 2x\longrightarrow2x+\dfrac{\pi}{4} \)​,\( x\longrightarrow x+\dfrac{\pi}{8} \)

再利用左右平移法则:左+右-,可知“向左平移​\( \dfrac{\pi}{8} \)​个单位”,故选A

【点评】改变函数名称的诱导公式:

\[ \sin{x} = \cos(\dfrac{\pi}{2}-x),\cos{x}=\sin{(\dfrac{\pi}{2}-x)} \]

要保证改变函数名称,同时前面系数又不产生负号,选用余弦,因为余弦函数是偶函数。

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/02/10/61/

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