【例】将编号为1，2，3，4，5的5个小球全部放入A、B、C三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法种数有（ ）
A．42 B．36 C．48 D．60
【分析】5个小球放入3个盒子，每个盒子至少有1球，再保证每个盒子1球的情况下，还剩2球，有两种分法：在一起、分开，因此，把小球分成3组的分组比例可以是3:1:1或2:2:1。这是一个分组分配问题，应该先分组再分配。下面分布讨论：
（1）分组比例为3:1:1时，设计符号（XXX）X X，要保证同一盒子内球编号不相连，（XXX）只能是（135），此时，只有（135）2 4这一种分组方式；
（2）分组比例为2:2:1时，设计符号（XX）（XX）X，下面按照“X是谁”分类讨论：
①X是1时，（XX）只能来自于（24）、（25）、（35），此时只有（24）（35）1满足题意；
②X是2时，（XX）只能来自于（13）、（14）、（15）、（35），此时只有（14）（35）2满足题意；
③X是3时，（XX）只能来自于（14）、（15）、（24）、（25），此时（14）（25）3、（15）（24）3两种均满足题意；
根据“对称性”可知，“X是4”与“X是2”情况相同，“X是5”与“X是1”情况相同，
因此，分组数共有7种，从而，不同的方法种数为
\[ N=7A_3^{3}=42 \]
原创文章，作者：leopold，如若转载，请注明出处：https://www.math211.com/2021/02/09/1/
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