分组分配的变异情况

【例】将编号为1,2,3,4,5的5个小球全部放入A、B、C三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一个盒子内的小球编号不相连,则不同的方法种数有(    )

A.42                        B.36                          C.48                        D.60

【分析】5个小球放入3个盒子,每个盒子至少有1球,再保证每个盒子1球的情况下,还剩2球,有两种分法:在一起、分开,因此,把小球分成3组的分组比例可以是3:1:1或2:2:1。这是一个分组分配问题,应该先分组再分配。下面分布讨论:

(1)分组比例为3:1:1时,设计符号(XXX)X  X,要保证同一盒子内球编号不相连,(XXX)只能是(135),此时,只有(135)2  4这一种分组方式;

(2)分组比例为2:2:1时,设计符号(XX)(XX)X,下面按照“X是谁”分类讨论:

  ①X是1时,(XX)只能来自于(24)、(25)、(35),此时只有(24)(35)1满足题意;

  ②X是2时,(XX)只能来自于(13)、(14)、(15)、(35),此时只有(14)(35)2满足题意;

  ③X是3时,(XX)只能来自于(14)、(15)、(24)、(25),此时(14)(25)3、(15)(24)3两种均满足题意;

根据“对称性”可知,“X是4”与“X是2”情况相同,“X是5”与“X是1”情况相同,

因此,分组数共有7种,从而,不同的方法种数为

\[ N=7A_3^{3}=42 \]

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评论列表(1条)

  • 一位WordPress评论者
    一位WordPress评论者 2021年2月9日 23:55

    嗨,这是一条评论。
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