共点向量基底表,系数和移等和线

共点向量基底表,系数和移等和线

共点向量基底表,系数和移等和线

选定基底\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \),研究\(\overrightarrow {OP} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)中系数和\(x + y\)的变化情况

记直线\(AB\)为\({l_0}\),当\({P_0}\)在直线\(AB\)上时,由于\(\overrightarrow {BA} \)与\(\overrightarrow {B{P_0}} \)共线

故\(\overrightarrow {B{P_0}} = t\overrightarrow {BA} \),

统一起点得

\(\overrightarrow {O{P_0}} – \overrightarrow {OB} = t(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} )\),

整理得\(\overrightarrow {O{P_0}} = t\overrightarrow {OA} + (1 – t)\overrightarrow {OB} \)

由平面向量基本定理得\(x = t,y = 1 – t\),故此时\(x + y = 1\),即直线\({l_0}\)上任意一点都满足\(x + y = 1\)

作\({l_0}\)的平行线\({l_1}\)、\({l_2}\)、\({l_3}\),在直线\({l_1}\)上任取一点\({P_1}\),由于\(O\)、\(P\)、\({P_0}\)共线

故存在\(m\),使得\(\overrightarrow {O{P_1}} = m\overrightarrow {O{P_0}} \),

由\(\overrightarrow {O{P_1}} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)得

\(m\overrightarrow {O{P_0}} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \),

即\(\overrightarrow {O{P_0}} = \dfrac{x}{m}\overrightarrow {OA} + \dfrac{y}{m}\overrightarrow {OB} \)

由于\({P_0}\)、\(A\)、\(B\)共线,故\(\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{m} = 1\),从而\(x + y = m\)

即直线\({l_1}\)上任意一点都满足系数和\(x + y = m\)

这说明与直线\({l_0}\)平行的每一条直线上,所有点都满足系数和\(x + y\)相等,这样的线叫等和线

上述\(m = \dfrac{{|O{P_1}|}}{{|O{P_0}|}}\),即直线\({l_1}\)上所有点都满足\(x + y = \dfrac{{|O{P_1}|}}{{|O{P_0}|}}\),根据相似可知,该比值可以是对应三角的中线比、高之比、内角平分线比、边之比,具体使用时,以方便计算为原则,灵活处理。

从上图可看出,从\({l_0}\)开始,往外面平移,\(x + y\)变大,且都大于\(1\);

从\({l_0}\)开始,往\(O\)平移,\(x + y\)变小,且都位于\((0,1)\);

继续从\(O\)往外平移,\(x + y\)为负数,且继续变小.

如对于直线\({l_3}\)上每一点,系数和\(x + y = – \dfrac{{|O{P_3}|}}{{|O{P_0}|}}\)

等和线常用来处理同起点的三向量,用基底表示时,系数和的值或取值范围问题。通过等和线,最终转化为平面几何问题,算线段的比例.

【例1】如图,在扇形\(OAB\)中,\(\angle AOB = 60^\circ \),\(C\)为弧\(AB\)上的一个动点,若\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \),则\(x + y\)的取值范围是_____________.

共点向量基底表,系数和移等和线

【解析】把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)选作基底,连接\(AB\),此时系数和\(x + y = 1\)

共点向量基底表,系数和移等和线

将直线\(AB\)向外平移,系数和变大,直到与圆弧相切于\(M\)点时,系数和达到最大

从而\(x + y\)达到最大,即\({(x + y)_{\max }} = \dfrac{{|OM|}}{{|ON|}} = \dfrac{r}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}r}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

而\({(x + y)_{\min }} = 1\),故\(x + y\)的取值范围是\([1,\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}]\)

【变式】如图,在扇形\(OAB\)中,\(\angle AOB = 60^\circ \),\(C\)为弧\(AB\)上的一个动点,若\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \),则\(x + 4y\)的取值范围是_____________.

【解析】如图,注意到把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)选作基底时,\(x + 4y\)并非系数和,因此需要把\(x + 4y\)变为系数和,就得改变基底:\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} = x\overrightarrow {OA} + 4y \cdot (\dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} )\)

共点向量基底表,系数和移等和线

取\(\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} \),则\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + 4y\overrightarrow {OM} \),

把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} \} \)选作基底,连接\(AM\),此时系数和\(x + 4y = 1\)

将\(AM\)向外平移,系数和\(x + 4y\)变大,直到经过点\(B\)时达到最大

故\({(x + 4y)_{\max }} = \dfrac{{|OB|}}{{|OM|}} = 4\)

从而\(x + 4y\)的取值范围是\([1,4]\)

【例2】已知\(\Delta ABC\)为等边三角形,动点\(P\)在以\(BC\)为直径的圆上,若\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC} \),则\(\lambda + 2\mu \)的最大值为(       )

A.​\( \dfrac{1}{2} \)​           B.\(1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)          C.\(\dfrac{5}{2}\)           D.\(2 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

共点向量基底表,系数和移等和线

【解析】\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC} = \lambda \overrightarrow {AB} + 2\mu \cdot \dfrac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\),如图

共点向量基底表,系数和移等和线

由于\(\Delta ABC\)是等边三角形,且\(BD \bot AC\),故\(D\)为\(AC\)中点,从而\(\overrightarrow {AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

因此\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + 2\mu \overrightarrow {AD} \),

选定\(\{ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \} \)为基底,则\(\lambda + 2\mu \)为系数和

连接\(BD\),这条线上的点对于系数和为\(1\),将直线\(BD\)向远离\(A\)的方向平移,系数和\(\lambda + 2\mu \)变大,直到与圆相切于\(E\)点时,系数和\(\lambda + 2\mu \)达到最大
设\(OG = m\),则

\(CD = 2m\),\(AD = 2m\),\(BC = 2r = 4m\),

故\(DF = GE = m + 2m = 3m\)

\(\therefore {(\lambda + 2\mu )_{\max }} = \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{2m + 3m}}{{2m}} = \dfrac{5}{2}\)

从而,本题选C

【反思】利用等和线求系数和的最大(小)值,首先要选定基底,使得所求的和为系数和,然后连接基底的两终点,这条线的系数和为1,以此线为基准进行平移,分析系数和的变化趋势,直到边界位置达到最大或最小,而计算系数和时,要选定好比例关系,最后利用平面几何知识算出比值。

【例3】如图所示,\(A\)、\(B\)、\(C\)是圆\(O\)上的三点,线段\(CO\)的延长线与\(BA\)的延长线交于圆\(O\)外的一点\(D\),若\(\overrightarrow {OC} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \),则\(m + n\)的取值范围是__________.

共点向量基底表,系数和移等和线

【解析】选定\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)为基底,则\(m + n\)为对应系数和

共点向量基底表,系数和移等和线

过\(O\)作\(AB\)的平行线\(ON\),\(AO\)延长与圆交于点\(M\),则向量\(\overrightarrow {OC} \)应位于图中扇形\(OMN\)区域内,

直线\(AB\)对于的系数和为\(1\),直线\(ON\)对应的系数和为\(0\),直线\(MP\)对应的系数和为\( – 1\),因此,\(m + n\)的取值范围是\(( – 1,0)\)

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/02/10/90/

(2)
上一篇 2021年2月10日 02:09
下一篇 2021年2月10日 02:11

相关推荐

  • 函数的对称性

    1.轴对称\( f(a+x)=f(b-x)恒成立\Longleftrightarrow f(x)的图象关于直线x=\dfrac{a+b}{2}对称 \) 【推导】 \[ 设x_1=…

    2021年2月10日
    3060
  • 椭圆三点定与动,所得三弦有联系

    椭圆三点定与动,所得三弦有联系。 斜率之积为定值,定点对弦过定点; 斜积负一为特情,张直角弦过定点。 斜率和定非零时,定点对弦过定点; 斜率之和为零时,定点对弦斜率定。 设\(P(…

    2021年2月10日
    1.0K0
Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert