共点向量基底表，系数和移等和线

共点向量基底表，系数和移等和线

选定基底\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)，研究\(\overrightarrow {OP} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)中系数和\(x + y\)的变化情况

记直线\(AB\)为\({l_0}\)，当\({P_0}\)在直线\(AB\)上时，由于\(\overrightarrow {BA} \)与\(\overrightarrow {B{P_0}} \)共线

故\(\overrightarrow {B{P_0}} = t\overrightarrow {BA} \)，

统一起点得

\(\overrightarrow {O{P_0}} – \overrightarrow {OB} = t(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} )\)，

整理得\(\overrightarrow {O{P_0}} = t\overrightarrow {OA} + (1 – t)\overrightarrow {OB} \)

由平面向量基本定理得\(x = t,y = 1 – t\)，故此时\(x + y = 1\)，即直线\({l_0}\)上任意一点都满足\(x + y = 1\)

作\({l_0}\)的平行线\({l_1}\)、\({l_2}\)、\({l_3}\)，在直线\({l_1}\)上任取一点\({P_1}\)，由于\(O\)、\(P\)、\({P_0}\)共线

故存在\(m\)，使得\(\overrightarrow {O{P_1}} = m\overrightarrow {O{P_0}} \)，

由\(\overrightarrow {O{P_1}} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)得

\(m\overrightarrow {O{P_0}} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)，

即\(\overrightarrow {O{P_0}} = \dfrac{x}{m}\overrightarrow {OA} + \dfrac{y}{m}\overrightarrow {OB} \)

由于\({P_0}\)、\(A\)、\(B\)共线，故\(\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{m} = 1\)，从而\(x + y = m\)

即直线\({l_1}\)上任意一点都满足系数和\(x + y = m\)

这说明与直线\({l_0}\)平行的每一条直线上，所有点都满足系数和\(x + y\)相等，这样的线叫等和线．

上述\(m = \dfrac{{|O{P_1}|}}{{|O{P_0}|}}\)，即直线\({l_1}\)上所有点都满足\(x + y = \dfrac{{|O{P_1}|}}{{|O{P_0}|}}\)，根据相似可知，该比值可以是对应三角的中线比、高之比、内角平分线比、边之比，具体使用时，以方便计算为原则，灵活处理。

从上图可看出，从\({l_0}\)开始，往外面平移，\(x + y\)变大，且都大于\(1\)；

从\({l_0}\)开始，往\(O\)平移，\(x + y\)变小，且都位于\((0,1)\)；

继续从\(O\)往外平移，\(x + y\)为负数，且继续变小．

如对于直线\({l_3}\)上每一点，系数和\(x + y = – \dfrac{{|O{P_3}|}}{{|O{P_0}|}}\)

等和线常用来处理同起点的三向量，用基底表示时，系数和的值或取值范围问题。通过等和线，最终转化为平面几何问题，算线段的比例．

【例1】如图，在扇形\(OAB\)中，\(\angle AOB = 60^\circ \)，\(C\)为弧\(AB\)上的一个动点，若\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)，则\(x + y\)的取值范围是_____________.

【解析】把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)选作基底，连接\(AB\)，此时系数和\(x + y = 1\)

将直线\(AB\)向外平移，系数和变大，直到与圆弧相切于\(M\)点时，系数和达到最大

从而\(x + y\)达到最大，即\({(x + y)_{\max }} = \dfrac{{|OM|}}{{|ON|}} = \dfrac{r}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}r}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

而\({(x + y)_{\min }} = 1\)，故\(x + y\)的取值范围是\([1,\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}]\)

【变式】如图，在扇形\(OAB\)中，\(\angle AOB = 60^\circ \)，\(C\)为弧\(AB\)上的一个动点，若\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} \)，则\(x + 4y\)的取值范围是_____________.

【解析】如图，注意到把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)选作基底时，\(x + 4y\)并非系数和，因此需要把\(x + 4y\)变为系数和，就得改变基底：\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} = x\overrightarrow {OA} + 4y \cdot (\dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} )\)

取\(\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} \)，则\(\overrightarrow {OC} = x\overrightarrow {OA} + 4y\overrightarrow {OM} \)，

把\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} \} \)选作基底，连接\(AM\)，此时系数和\(x + 4y = 1\)

将\(AM\)向外平移，系数和\(x + 4y\)变大，直到经过点\(B\)时达到最大

故\({(x + 4y)_{\max }} = \dfrac{{|OB|}}{{|OM|}} = 4\)

从而\(x + 4y\)的取值范围是\([1,4]\)

【例2】已知\(\Delta ABC\)为等边三角形，动点\(P\)在以\(BC\)为直径的圆上，若\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC} \)，则\(\lambda + 2\mu \)的最大值为（       ）

A．​\( \dfrac{1}{2} \)​           B．\(1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)          C．\(\dfrac{5}{2}\)           D．\(2 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

【解析】\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC} = \lambda \overrightarrow {AB} + 2\mu \cdot \dfrac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\)，如图

由于\(\Delta ABC\)是等边三角形，且\(BD \bot AC\)，故\(D\)为\(AC\)中点，从而\(\overrightarrow {AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

因此\(\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + 2\mu \overrightarrow {AD} \)，

选定\(\{ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \} \)为基底，则\(\lambda + 2\mu \)为系数和

连接\(BD\)，这条线上的点对于系数和为\(1\)，将直线\(BD\)向远离\(A\)的方向平移，系数和\(\lambda + 2\mu \)变大，直到与圆相切于\(E\)点时，系数和\(\lambda + 2\mu \)达到最大
设\(OG = m\)，则

\(CD = 2m\)，\(AD = 2m\)，\(BC = 2r = 4m\)，

故\(DF = GE = m + 2m = 3m\)

\(\therefore {(\lambda + 2\mu )_{\max }} = \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{2m + 3m}}{{2m}} = \dfrac{5}{2}\)

从而，本题选C

【反思】利用等和线求系数和的最大（小）值，首先要选定基底，使得所求的和为系数和，然后连接基底的两终点，这条线的系数和为1，以此线为基准进行平移，分析系数和的变化趋势，直到边界位置达到最大或最小，而计算系数和时，要选定好比例关系，最后利用平面几何知识算出比值。

【例3】如图所示，\(A\)、\(B\)、\(C\)是圆\(O\)上的三点，线段\(CO\)的延长线与\(BA\)的延长线交于圆\(O\)外的一点\(D\)，若\(\overrightarrow {OC} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \)，则\(m + n\)的取值范围是__________.

【解析】选定\(\{ \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \} \)为基底，则\(m + n\)为对应系数和

过\(O\)作\(AB\)的平行线\(ON\)，\(AO\)延长与圆交于点\(M\)，则向量\(\overrightarrow {OC} \)应位于图中扇形\(OMN\)区域内，

直线\(AB\)对于的系数和为\(1\)，直线\(ON\)对应的系数和为\(0\)，直线\(MP\)对应的系数和为\( – 1\)，因此，\(m + n\)的取值范围是\(( – 1,0)\)