【例题】已知函数\( f(x)=\ln{x}-a(x-1)e^{x},a\in\mathbf{ R} \)，若不等式\( f(x)\leqslant0 \)对任意\( x>0 \)恒成立，求\( a \)的取值范围.
【解析】首先利用导数判断函数单调性，然后求出最值再转化.
\( f'(x)=\dfrac{1}{x}-axe^x \)(\( x>0 \))
（1）（特殊情况）当\( a\leqslant0 \)时，由于\( \dfrac{1}{x}>0,xe^x>0 \)，故\( f'(x)>0 \)
从而\( f(x) \)在\( (0,+\infty) \)上单调递增，注意到\( f(1)=0 \)
故当\( x>1 \)时，\( f(x)>f(1)=0 \)，不满足题意；
（2）（一般情况）当\( a<0 \)时，在\( (0,+\infty) \)上单调递减，\( f'(x)=\dfrac{1}{x}(1-ax^2e^x) \)
令\( g(x)=1-ax^2e^x(x>0) \)，则\( g(x) \)在\( (0,+\infty) \)上单调递减，
由于\( g(0)=1>0,g(\dfrac{1}{\sqrt{a}})=1-e^{\frac{1}{\sqrt{a}}}<0 \)，故在\( (0,+\infty) \)上，\( g(x) \)存在唯一零点\( x_0 \)，且\( 0<x_0<\dfrac{1}{\sqrt{a}} \)
当\( 0<x<x_0\)时，\( g(x)>0 \)，\( f'(x)>0 \)，\( f(x) \)单调递增；
当\( x>x_0\)时，\( g(x)<0 \)，\( f'(x)<0 \)，\( f(x) \)单调递增.
故\( f(x)_{max}=f(x_0)=lnx_0-a(x_0-1)e^{x_0} \)
由\( g'(x_0)=0 \)得\( ae^{x_0}=\dfrac{1}{x_0^2} \)，故\( f(x_0)=lnx_0-\dfrac{x_0-1}{x_0^2} \)
令\( h(x)=lnx-\dfrac{x-1}{x^2} \)，则\( h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^2-(x-1)2x}{x^4}=\dfrac{x^2+x-2}{x^3}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x^3} \)
当\( 0<x<1 \)时，\( h'(x)<0 \)，\( h(x) \)单调递减；
当\( x>1 \)时，\( h'(x)>0 \)，\( h(x) \)单调递增.
\( \therefore h(x)\geqslant h(1)=0 \)（当且仅当\( x=1 \)时，等号成立）
而\( f(x_0)=h(x_0)\leqslant0 \)，故\( x_0=1 \)，从而\( a=\dfrac{1}{e} \)
综上所述，\( a \)的取值范围是\( \{\dfrac{1}{e}\} \)
【点评】导数讨论的题目注意是否有特殊情况，找特殊情况的原理是：“正数加正数为正数，负数加负数为负数，正数减负数为正数，负数减正数为负数”。本题中，\( f'(x) \)在0处无意义，但提取\( \dfrac{1}{x} \)后，\( g(x) \)在0处就有意义了.
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