复数三角形式乘法的几何意义及其应用

一、复数的三角形式：

\(z = r(\cos \theta  + i\sin \theta )\)（\(r>0\)），\(z\)对应点\(Z(r\cos \theta ,r\sin \theta )\)，对应向量\(\overrightarrow {OZ}  = (r\cos \theta ,r\sin \theta )\)，\(|z| = |\overrightarrow {OZ} | = r\)

若\({z_1} = {r_1}(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1})\)，\({z_2} = {r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2})\)，则

\({z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}[\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} – \sin {\theta _1}\sin {\theta _2} + i(\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + \cos {\theta _1}\sin {\theta _2})]\)

\( = {r_1}{r_2}[\cos ({\theta _1} + {\theta _2}) + i\sin ({\theta _1} + {\theta _2})]\)

其几何意义是：\({z_1}{z_2}\)表示把复数\({z_1}\)对应的向量\(\overrightarrow {O{Z_1}} \)，绕\(O\)旋转\({\theta _2}\)（\({\theta _2}>0\)：逆时针，\({\theta _2}<0\)：顺时针），然后再伸长或缩短为原来\({r_2}\)倍得到的向量所对应的复数．可以用来处理旋转、伸缩变换有关问题。如\((1 + 2i) \cdot i = (1 + 2i) \cdot (\cos 90^\circ  + i\sin 90^\circ )\)表示把向量\(\overrightarrow a  = (1,2)\)沿逆时针旋转\(90^\circ \)，长度不变．

同理可得到：\(\dfrac{{{r_1}(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1})}}{{{r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2})}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[\cos ({\theta _1} – {\theta _2}) + i\sin ({\theta _1} – {\theta _2})]\)

二、在解析几何中的应用

【例题】在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P\)、\(Q\)分别为直线\(l:2x + y – 3 = 0\)与圆\(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2}\)（\(r>0\)）上的动点，若存在点\(P\)、\(Q\)，使得\(\Delta OPQ\)是以\(O\)为直角顶点的等腰直角三角形，则\(r\)的取值范围为_____________.

【解析】设\(Q(x,y)\)，其对应复数为\(x + yi\)，

\((x + yi) \cdot (\cos{90^\circ}+i\sin{90^\circ})\)\(=(x + yi) \cdot i =  – y + xi\)，故\(P( – y,x)\)

代入\(2x + y – 3 = 0\)得\(Q\)的轨迹方程为\(x – 2y – 3 = 0\)

由于\(Q\)点在圆\(M:{(x – 2)^2} + {y^2} = {r^2}\)上

故\(d = \dfrac{{|2 – 0 – 3|}}{{\sqrt 5 }} \leqslant r\)，解得\(r \geqslant \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)