点圆与圆系方程及其应用

点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆．坐标平面上的点​\( P(x_{0},y_{0}) \)​的方程可记为

​\( E_{P}:(x−x_{0})^{2}+(y−y_{0})^{2}=0． \)​

1.两圆相交，公共弦：\( E_{C_{1}}-E_{C_{2}}=l \)

2.过直线​\( l \)​与圆​\( C_{1} \)​交点的圆：​\( E_{C_{1}}+λ⋅l=E_{C_{2}} \)​

3.过圆​\( C_{1} \)​与圆​\( C_{2} \)​交点的圆：

法一：​\( E_{C_{1}}+λ⋅E_{C_{2}}=E_{C} \)​

法二：​\( E_{C_{1}}+λ⋅(E_{C_{1}}-E_{C_{2}})=E_{C} \)​

4.两圆相切，内公切线：​\( E_{C_{1}}-E_{C_{2}}=l \)​

5.圆​\( C_{1} \)​在点​\( B \)​处的切线：​\( E_{C_{1}}-E_{B}=l \)​

6.与直线​\( l \)​相且于点​\( B \)​的圆：​\( E_{B}+λ⋅l=E_{C_{1}} \)​

7.与圆​\( C_{1} \)​相切于点​\( B \)​的圆：

法一：​\( E_{C_{1}}+λ⋅E_{B}=E_{C_{2}} \)​

法二：​\( E_{C_1}+λ⋅(E_{C_{1}}-E_{B})=E_{C_{2}} \)​

【例1】 已知直线​\( l \)​与圆​\( O:x^{2}+y^{2}=25 \)​切于点​\( P(−3,4) \)​，求直线​\( l \)​的方程.

【解析】点\( P(−3,4) \)​可看成点圆​\( P：(x+3)²+(y-4)²=0 \)​

则圆​\( O:x^{2}+y^{2}=25 \)​在点\( P(−3,4) \)​的切线​\( l \)​的方程为

​\( (x^{2}+y^{2}−25)−[(x+3)^{2}+(y−4)^{2}]=0 \)​， 即​\( 3x−4y+25=0 \)​

【例2】 求过点​\( A(4,−1) \)​且与圆​\( (x+1)^{2}+(y−3)^{2}=5 \)​相切于点​\( B(1,2) \)​的圆的方程.

【解析】点​\( B(1,2) \)​可看成点圆​\( B：(x-1)²+(y-2)²=0 \)​，故所求圆的方程可设为：

​\( (x+1)^{2}+(y−3)^{2}−5+λ[(x−1)^{2}+(y−2)^{2}]=0 （*） \)​

又该圆过点​\( A(4,−1) \)​，所以有

​\( (4+1)^{2}+(−1−3)^{2}−5+λ[(4−1)^{2}+(−1−2)^{2}]=0 \)​即​\( λ=−2 \)​

代入(*)整理得求圆的方程为​\( (x−3)^{2}+(y−1)^{2}=5 \)​

【例3】 求与圆​\( M:x^{2}+y^{2}−2x=0 \)​外切，且与直线​\( x+\sqrt{3}y=0 \)​相切于点​\( A(3,−\sqrt{3}) \)​的圆的方程.

【解析】点​\( A(3,−\sqrt{3}) \)可看成点圆​\( (x-3)²+(y+\sqrt{3})²=0 \)​，

可设所求圆为​\( C：(x−3)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}+λ(x+\sqrt{3}y)=0 \)​

将其整理为​\( [x−(3−\dfrac{λ}{2})]^{2}+[y−(−3−\dfrac{\sqrt{3}}{2}λ)]^{2}=λ^{2} （*） \)​

由于圆​\( C \)​与圆​\( M:x^{2}+y^{2}−2x=0 \)​即​\( (x−1)^{2}+y^{2}=1 \)​外切，

故​\( \sqrt{(3−\dfrac{λ}{2}−1)^{2}+(−\sqrt{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{2}λ)^{2}}=1+|λ|. \)​

即​\( λ+6=2|λ| \)​，解得​\( λ=−2 \)​或​\( λ=6 \)​， 代入​\( （*） \)​得圆​\( C \)​的方程为：

​\( (x−4)^{2}+y^{2}=4 \)​或​\( x^{2}+(y+4\sqrt{3})^{2}=36 \)​