重庆市南开中学高2021级高三第五次质量检测.第8题

［重庆市南开中学高2021级高三第五次质量检测.第8题］已知实数$a$、$b$满足$a={{\log }_{2}}3+{{\log }_{6}}4$，${{3}^{a}}+{{4}^{a}}={{5}^{b}}$，则下列关于$a$、$b$下列判断正确的是（    ）

A．\(a<b<2\)       B．$b<a<2$       C．$2<a<b$       D．$2<b<a$

［解析］首先比较$a$与$2$的大小

（法一）确定${{\log }_{2}}3$与 较为精确的范围，采用“放大镜”

$4<{{\log }_{2}}{{2}^{4}}<3{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}27<{{\log }_{2}}{{2}^{5}}=5$，$\dfrac{4}{3}<{{\log }_{2}}3<\dfrac{5}{3}$

$2={{\log }_{6}}{{6}^{2}}<3\log _{6}^{4}={{\log }_{6}}64<{{\log }_{6}}{{6}^{3}}=3$，$\dfrac{2}{3}<{{\log }_{6}}4<1$ $\therefore a>\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}=2$

（法二）注意到${{\log }_{2}}3$与${{\log }_{6}}4$的联系：其中一个可以用另一个表示

${{\log }_{6}}4=\dfrac{1}{{{\log }_{4}}6}=\dfrac{1}{{{\log }_{{{2}^{2}}}}6}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}6}=\dfrac{2}{{{\log }_{2}}3+1}$

$a={{\log }_{2}}3+1+\dfrac{2}{{{\log }_{2}}3+1}-1$

令$t={{\log }_{2}}3+1\in (2,3)$，则$a=t+\dfrac{2}{t}-1$在$2<t<3$时单调递增 $\therefore a>2+\dfrac{2}{2}-1=2$

（法三）注意到${{\log }_{2}}3$与${{\log }_{6}}4$的联系：${{\log }_{2}}3$的底数与${{\log }_{6}}4$的真数有联系

$a={{\log }_{{{2}^{2}}}}{{3}^{2}}+{{\log }_{6}}4={{\log }_{4}}9+{{\log }_{6}}4$

$>2\sqrt{{{\log }_{4}}9\cdot {{\log }_{6}}4}=2\sqrt{\dfrac{\lg 9}{\lg 4}\cdot \dfrac{\lg 4}{\lg 6}}>2$

其次，比较$b$与$2$、$b$与$a$的大小

对于${{3}^{a}}+{{4}^{a}}={{5}^{b}}$，及$a>2$可联想到勾股定理

利用指数函数的单调性

${{5}^{b}}={{3}^{a}}+{{4}^{a}}>{{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}\Leftrightarrow b>2$

再注意到${{3}^{a}}+{{4}^{a}}$均为$a$次幂，利用“齐次式同除”的思想

$\dfrac{{{3}^{a}}+{{4}^{a}}}{{{5}^{a}}}=\dfrac{{{5}^{b}}}{{{5}^{a}}}\Rightarrow {{5}^{b-a}}={{(\dfrac{3}{5})}^{a}}+{{(\dfrac{4}{5})}^{a}}<{{(\dfrac{3}{5})}^{2}}+{{(\dfrac{4}{5})}^{2}}=1={{5}^{0}}$

再利用指数函数的单调性得$b-a<0$，即$b<a$

从而$2<b<a$

事实上，比较两个数大小最基本的方法就是作差比较，为了得到$a$与$b$的差，同除以${{5}^{a}}$便可得到.

［反思］本题体现了新高考的基础性、多层次要求，抓住不同的点就会有不同的解法，整个解答过程中，反反复复用到了指数函数的单调性．