复杂条件先化简，等价转化思路明

复杂条件先化简，等价转化思路明。

【例题】已知函数\(f(x) = \dfrac{{\ln x – 1}}{{\ln x + 1}}(x>e)\)，若\(f(m) + f(n) = 1\)，则\(m \cdot n\)的最小值为（     ）

A．\(6\)         B．\({e^6}\)         C．\({10^6}\)         D．\({10^e}\)

【解析】\(f(m) + f(n) = \dfrac{{\ln m – 1}}{{\ln m + 1}} + \dfrac{{\ln n – 1}}{{\ln n + 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \ln m \cdot \ln n – \ln m – \ln n – 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \ln m \cdot \ln n = \ln (mn) + 3 \le {\left( {\dfrac{{\ln m + \ln n}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{[\ln (mn)]}^2}}}{4}\)

整理得\({[\ln (mn)]^2} – 4\ln (mn) – 12 \ge 0\)，解得\(\ln (mn) \ge 6\)，\(\therefore mn \ge {e^6}\)

取等条件为\(m = n = {e^3}>e\)

因此\(m \cdot n\)的最小值为\({e^6}\)，故选B

【反思】本题为条件最值，只是条件是以对数函数与一次分式型函数的复合函数为背景，相当复杂，而且条件中的函数具有什么性质？与\(f(m) + f(n) = 1\)又有何联系？这些问题不容易理清，因此采用化简的方式。就像一个鱼塘，只要把水抽干，里面有什么鱼？有多少鱼？一目了然。面对复杂条件、陌生条件，不妨先化简、先等价转化，变为熟悉的问题。