函数方程相互换,最值交点解题妙
三角分式求值域,斜率意义把题解
对于一个含有两个变量的等式\(f(x,y) = 0\),一方面,可以看作方程,用方程的理论解决问题;令一方面,可以看作函数\(y = g(x)\)或\(h(y) = u(x)\),用函数的理论解决相关问题。若能在函数与方程之间灵活转换,则在解题中便可随心所欲。
【例1】求二元函数\(f(x,\theta ) = \dfrac{{x\cos \theta }}{{{x^2} + 2 + x\sin \theta }}\)的值域.
【解析】这是一个二元函数问题,可以先将其中一个量作为主元(主变量),另一个变量当成参数;也可以考虑将两个变量进行分离.
思路1:令\(y = \dfrac{{x\cos \theta }}{{{x^2} + 2 + x\sin \theta }}\),把它看成关于\(x\)的方程,整理得
\(y{x^2} + (y\sin \theta – \cos \theta )x + 2y = 0\)
由关于\(x\)的方程方程有解得
\(\Delta = {(y\sin \theta – \cos \theta )^2} – 8{y^2} \ge 0\)
整理得
\(({y^2} + 1){\sin ^2}(\theta + \varphi ) – 8{y^2} \ge 0\)
其中\(\cos \varphi = \dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }},\sin \varphi = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {{y^2} + 1} }}\)
即\({\sin ^2}(\theta + \varphi ) \ge \dfrac{{8{y^2}}}{{{y^2} + 1}}\)
把上式看成关于\(\theta \)的不等式,根据关于\(\theta \)的不等式有解得
\({\left[ {{{\sin }^2}(\theta + \varphi )} \right]_{\max }} = 1 \ge \dfrac{{8{y^2}}}{{{y^2} + 1}}\)
解得\( – \dfrac{{\sqrt 7 }}{7} \le y \le \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\)
思路2:当\(x = 0\)时,\(f(x,\theta ) = 0\)
当\(x \ne 0\)时,\(f(x,\theta ) = \dfrac{{\cos \theta }}{{x + \dfrac{2}{x} + \sin \theta }} = \dfrac{{0 – ( – \cos \theta )}}{{x + \dfrac{2}{x} – ( – \sin \theta )}}\)
令\(\left\{ \begin{array}{l}
X = – \sin \theta \\
Y = – \cos \theta
\end{array} \right.\),则\({X^2} + {Y^2} = 1\),
则点\(P( – \sin \theta , – \cos \theta )\)为圆\({X^2} + {Y^2} = 1\)上一点
令\(X = x + \dfrac{2}{x}\),则\(X \ge 2\sqrt 2 \)或\(X \le – 2\sqrt 2 \),故点\(Q(x + \dfrac{2}{x},0)\)满足\({X_Q} \le – 2\sqrt 2 \)或\({X_Q} \ge 2\sqrt 2 \)且\({Y_Q} = 0\)
\(f(x,\theta )\)表示直线\(PQ\)的斜率,如图所示
分析图形可知,直线\(PQ\)斜率的取值范围是\(\left[ { – \dfrac{{\sqrt 7 }}{7},\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}} \right]\)
【变式1】求函数\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \sin x}}\)的值域.
【解析】把\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \sin x}}\)看作方程,反解\(\sin x\)得
\(\sin x = \dfrac{{2y – 3}}{{1 + 2y}}\)
利用\(\sin x\)的有界性\(\left| {\sin x} \right| \le 1\)得
\(\dfrac{{\left| {2y – 3} \right|}}{{\left| {1 + 2y} \right|}} \le 1\)
即\(\left| {2y – 3} \right| \le \left| {2y + 1} \right|\)
解得\(y \ge \dfrac{1}{2}\)
故值域为\([\dfrac{1}{2}, + \infty )\)
【变式2】求函数\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \cos x}}\)的值域.
【解析】把\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \cos x}}\)看成方程,整理得
\(\sin x + y\cos x = 2y – 3\)
使用辅助角公式变形为\(\sqrt {1 + {y^2}} \sin (x + \varphi ) = 2y – 3\)
解得\(\sin (x + \varphi ) = \dfrac{{2y – 3}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }}\)
利用有界性\(\left| {\sin (x + \varphi )} \right| \le 1\)得\(\dfrac{{\left| {2y – 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} \le 1\)
即\(\left| {2y – 3} \right| \le \sqrt {1 + {y^2}} \)
平方得\(3{y^2} – 12y + 8 \le 0\)
解得\(2 – \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} \le y \le 2 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
故值域为\([2 – \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3},2 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}]\)
【变式3】求函数\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \cos x}}\)(\(x \in [0,\pi ]\))的值域.
【解析】由于函数的定义域不是\(R\),因此不能保证上述方法中\(\left| {\sin (x + \theta )} \right|\)能取到\([ – 1,1]\)的的所有值,因此上述方法失效。
此时,我们只能考虑其几何意义
令\(\left\{ \begin{array}{l}
X = \cos x\\
Y = – \sin x
\end{array} \right.\),则\(X \in [ – 1,1],Y \in [ – 1,0]\)
\(y = \dfrac{{3 + \sin x}}{{2 – \cos x}}\)表示点\(A(2,3)\)与点\(B(\cos x, – \sin x)\)连线的斜率
如图所示
设切线\(AT\)的斜率为\(k\),则直线\(AT:y – 3 = k(x – 2)\),即\(kx – y + 3 – 2k = 0\)
利用直线与圆相切,圆心到切线的距离等于半径得
\(\dfrac{{\left| {3 – 2k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\)
解得\(k = 2 \pm \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\),显然\(AT\)的斜率应该取\(2 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
又\({k_{AC}} = 1\)
故值域为\([1,2 + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}]\)
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