高中数学人教A版（2019）题库

【最优解】构造特殊函数
由$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$，联想到余弦函数和差化积公式
$cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy$，
可设$f(x)=acosωx$，则由方法一中$f(0)=2$，$f(1)=1$知$a=2$，$acosω=1$，
解得$cosω=\dfrac{1}{2}$，取$ω=\dfrac{π}{3}$，
所以$f(x)=2cos\dfrac{π}{3}x$，则
$f(x+y)+f(x-y)=2cos(\dfrac{π}{3}x+\dfrac{π}{3}y)+2cos(\dfrac{π}{3}x-\dfrac{π}{3}y)$
$=4cos\dfrac{π}{3}xcos\dfrac{π}{3}y=f(x)f(y)$，
所以$f(x)=2cos\dfrac{π}{3}x$符合条件，
因此$f(x)$的周期$T=\dfrac{2π}{(π)/(3)}=6$，$f(0)=2$，$f(1)=1$，且$f(2)=-1$，$f(3)=-2$，$f(4)=-1$，$f(5)=1$，$f(6)=2$，所以$f（1）+f（2）+f（3）(3)+f(4)f（4）(4)+f(5)+f(6)=0$，
由于$22$除以$6$余$4$，
所以$\sum_{22}^{k=1}{f(k)}=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3$．
故选：A．

因为$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，
对于A，令$x=y=0$，$f(0)=0f(0)+0f(0)=0$，故A正确.
对于B，令$x=y=1$，$f(1)=1f(1)+1f(1)$，则$f(1)=0$，故B正确.
对于C，令$x=y=-1$，$f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)$，则$f(-1)=0$，
令$y=-1$，$f(-x)=f(x)+x^{2}f(-1)=f(x)$，
又函数$f(x)$的定义域为$R$，所以$f(x)$为偶函数，故C正确，
对于D，当$x²y²≠0$时，对$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$两边同时除以$x^{2}y^{2}$，得到$\dfrac{f(xy)}{x²y²}=\dfrac{f(x)}{x²}+\dfrac{f(y)}{y²}$，
故可以设$\dfrac{f(x)}{x^{2}}=\ln |x|(x≠0)$，则
$f(x)=\begin{cases}x^{2}\ln |x|，x≠0\\0，x=0\end{cases}$，
当$x>0$时，$f(x)=x^{2}\ln x$，则$f′(x)=2x\ln x+x^{2}⋅\dfrac{1}{x}=x(2\ln x+1)$，
令$f′(x)<0$，得$0<x<e^{-\dfrac{1}{2}}$；
令$f′(x)>0$，得$x>e^{-\dfrac{1}{2}}$；
故$f(x)$在$(0，e^{-\dfrac{1}{2}})$上单调递减，在$(e^{-\dfrac{1}{2}}，+∞)$上单调递增，
因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$(-e^{-\dfrac{1}{2}}，0)$上单调递增，在$(-∞，e^{-\dfrac{1}{2}})$上单调递减，
  
显然，此时$x=0$是$f(x)$的极大值点，故D错误.
故选：ABC.
【解法2】利用“原型”破解抽象函数
同构变形：两边同除以$x^2y^2$得，$\dfrac{f(xy)}{x^2y^2}=\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{y}{y^2}$
根据对数公式：$\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|$，对比得
$\dfrac{x}{x^2}=\begin{cases}\log _{a}|x|，x\neq 0\\0，x=0\end{cases}$
所以$f(x)=\begin{cases}x^2\log _{a}|x|，x\neq 0\\0，x=0\end{cases}$

取$f(x)=x^{4}$，则$f(x_{1}x_{2})=(x_{1}x_{2})^{4}=x_{1}^{4}x_{2}^{4}=f(x_{1})f(x_{2})$，满足①，
$f′(x)=4x^{3}$，$x>0$时有$f′(x)>0$，满足②，
$f′(x)=4x^{3}$的定义域为R，
又$f′(-x)=-4x^{3}=-f′(x)$，故$f′(x)$是奇函数，满足③.
故f(x)=x^{2n}(n∈N^{*})均满足
故选A

因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g(2-x)=g(x+2)，
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，
所以f(3)+f(5)+⋯+f(21)=(-2)×5=-10，
f(4)+f(6)+⋯+f(22)=(-2)×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g（2）=5，即f(0)=1，所以f（2）=-2-f(0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，
联立得，g(2-x)+g(x+4)=12，
所以y=g(x)的图像关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f(1)=5-g(3)=-1.
所以(∑^{},22,k=1)f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+⋯+f(21)]+[f(4)+f(6)+⋯+f(22)]=-1-3-10-10=-24.
故选：D

特殊值，构造函数法.
由方法一知$g(x)$周期为$2$，关于$x=2$对称，故可设$g(x)=cos(πx)$，则$f(x)=\dfrac{1}{π}sin(πx)+c$，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.

因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1-2x)=-f(2x+1)，所以，f(1-x)=-f(x+1)，
所以，f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，
故f(-1)=-f(1)=0，其它三个选项未知.
故选：B.

因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)①；
因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)②．
令x=1，由①得：f(0)=-f(2)=-(4a+b)，由②得：f(3)=f(1)=a+b，
因为f(0)+f(3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6⇒a=-2，
令x=0，由①得：f(1)=-f(1)⇒f(1)=0⇒b=2，所以f(x)=-2x^{2}+2．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4．
所以f(\dfrac{9}{2})=f(\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{5}{2}．
故选：D．

∵函数是周期为2的周期函数，∴f(-\dfrac{5}{2})=f(-\dfrac{1}{2})，而f(\dfrac{1}{2})=2×\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}，
又函数为奇函数，∴f(-\dfrac{5}{2})=f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2}．故选A．
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值．

由题知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
于是f(-\dfrac{3}{4})=f(\dfrac{3}{4})=f(\dfrac{11}{4})=5-2×\dfrac{11}{4}=-\dfrac{1}{2}.
故选：A

因为f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，
所以f(1+x)=-f(x-1)∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1)∴T=4，
因此f（1）+f（2）+f（3）(3)+⋯+f(50)=12[f（1）+f（2）+f（3）(3)+f(4)f（4）(4)]+f（1）+f（2），
因为f（3）(3)=-f（1），f(4)f（4）(4)=-f（2），所以f（1）+f（2）+f（3）(3)+f(4)f（4）(4)=0，
∵f（2）=f(-2)=-f（2）∴f（2）=0，从而f（1）+f（2）+f（3）(3)+⋯+f(50)=f（1）=2，选C.