实际问题费思量，数学建模符号化

实际问题费思量，数学建模符号化。

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于\(2\pi \)与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有\(3\)个面角，每个面角是\(\dfrac{\pi }{3}\)，所以正四面体在各顶点的曲率为\(2\pi – 3 \times \dfrac{\pi }{3} = \pi \)，故其总曲率为\(4\pi \)．

（1）求四棱雉的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝\(2\)，证明：这类多面体的总曲率是常数.

对于正四面体，由于每个面都是正三角形，因此每个面角都是\(\dfrac{\pi }{3}\)，因此能算出每个顶点的曲率，即\(2\pi – \dfrac{\pi }{3} \times 3 = \pi \)．而对于一般的三棱锥，设顶点A处的三个面角分别是\(\alpha ,\beta ,\gamma \)，则A点的曲率为\(2\pi – (\alpha + \beta + \gamma )\)，其中\(\alpha ,\beta ,\gamma \)的值都是不确定的，因此无法算出每个点的曲率。但是可以算出它们的总和，因为我们虽不知道每个面的内角，但我们知道内角和，即\(n\)边形的内角和为\((n – 2)\pi \)．

（1）四棱锥有5个顶点，因此算总曲率时被减数为：\(5 \times 2\pi = 10\pi \)
四棱锥有4个三角形、1个四边形，这些多边形的内角总和为：\(4 \times \pi + 1 \times 2\pi = 6\pi \)

因此，四棱锥的总曲率为：\(10\pi – 6\pi = 4\pi \)．

（2）设这类多面体的顶点数为\(x\)、棱数为\(y\)、面数为\(z\)，则\(x – y + z = 2\)

由于该多面体的顶点数为\(x\)，故算总曲率的被减数为：\(x \cdot 2\pi \)

设该多面体的第\(n\)个面为\({a_n}\)边形（其中\(n = 1,2, \cdots ,z\)），这些多边形的所有内角之和为：

\(({a_1} – 2)\pi + ({a_2} – 2)\pi + \cdots + ({a_z} – 2)\pi = ({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z})\pi – z \cdot 2\pi \)

所以该多面体的总曲率为

\(x \cdot 2\pi – [({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z})\pi – z \cdot 2\pi ]\)

由于该多面体相邻两个面有一条公共的边，把这两个面分开后，算内角和时，这条边算了两次，因此所有面的边数之和为棱数的\(2\)倍，即

\({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z} = 2y\)

故该多面体的总曲率为

\(x \cdot 2\pi – [2y\pi – z \cdot 2\pi ] = 2\pi \cdot (x – y + z) = 2\pi \times 2 = 4\pi \)

学生从小学到初中、高中，乃至大学，都在学习一个又一个的符号系统，越往高年级，所学的符号系统越多、越复杂，本题目要求学生能自己设计符号系统，把实际问题转化为数学语言，即数学建模的过程。本题的解答中，把第\(n\)个面的边数设为\({a_n}\)，从而构建了一个数列语言，这是学生最欠缺的能力，因为学生只习惯学习符号系统，而不善于自己创设符号系统来解决实际问题。