实际问题费思量,数学建模符号化

实际问题费思量,数学建模符号化。

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于\(2\pi \)与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有\(3\)个面角,每个面角是\(\dfrac{\pi }{3}\),所以正四面体在各顶点的曲率为\(2\pi – 3 \times \dfrac{\pi }{3} = \pi \),故其总曲率为\(4\pi \).

实际问题费思量,数学建模符号化

(1)求四棱雉的总曲率;

(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=\(2\),证明:这类多面体的总曲率是常数.

对于正四面体,由于每个面都是正三角形,因此每个面角都是\(\dfrac{\pi }{3}\),因此能算出每个顶点的曲率,即\(2\pi – \dfrac{\pi }{3} \times 3 = \pi \).而对于一般的三棱锥,设顶点A处的三个面角分别是\(\alpha ,\beta ,\gamma \),则A点的曲率为\(2\pi – (\alpha + \beta + \gamma )\),其中\(\alpha ,\beta ,\gamma \)的值都是不确定的,因此无法算出每个点的曲率。但是可以算出它们的总和,因为我们虽不知道每个面的内角,但我们知道内角和,即\(n\)边形的内角和为\((n – 2)\pi \).

(1)四棱锥有5个顶点,因此算总曲率时被减数为:\(5 \times 2\pi = 10\pi \)
四棱锥有4个三角形、1个四边形,这些多边形的内角总和为:\(4 \times \pi + 1 \times 2\pi = 6\pi \)

因此,四棱锥的总曲率为:\(10\pi – 6\pi = 4\pi \).

(2)设这类多面体的顶点数为\(x\)、棱数为\(y\)、面数为\(z\),则\(x – y + z = 2\)

由于该多面体的顶点数为\(x\),故算总曲率的被减数为:\(x \cdot 2\pi \)

设该多面体的第\(n\)个面为\({a_n}\)边形(其中\(n = 1,2, \cdots ,z\)),这些多边形的所有内角之和为:

\(({a_1} – 2)\pi + ({a_2} – 2)\pi + \cdots + ({a_z} – 2)\pi = ({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z})\pi – z \cdot 2\pi \)

所以该多面体的总曲率为

\(x \cdot 2\pi – [({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z})\pi – z \cdot 2\pi ]\)

由于该多面体相邻两个面有一条公共的边,把这两个面分开后,算内角和时,这条边算了两次,因此所有面的边数之和为棱数的\(2\)倍,即

\({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_z} = 2y\)

故该多面体的总曲率为

\(x \cdot 2\pi – [2y\pi – z \cdot 2\pi ] = 2\pi \cdot (x – y + z) = 2\pi \times 2 = 4\pi \)

学生从小学到初中、高中,乃至大学,都在学习一个又一个的符号系统,越往高年级,所学的符号系统越多、越复杂,本题目要求学生能自己设计符号系统,把实际问题转化为数学语言,即数学建模的过程。本题的解答中,把第\(n\)个面的边数设为\({a_n}\),从而构建了一个数列语言,这是学生最欠缺的能力,因为学生只习惯学习符号系统,而不善于自己创设符号系统来解决实际问题。

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/02/10/86/

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