2023年四省联考数学第16题

【2023年四省联考数学第16题】下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关\(1\)次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按\((2,2)\)将导致\((1,2)\)，\((2,1)\)，\((2,2)\)，\((2,3)\)，\((3,2)\)改变状态．如果要求只改变\((1,1)\)的状态，则需按开关的最少次数为_______ ．

【分析】

用数学的眼光观察世界：引进符号系统

假设最开始的状态都为\(0\)(偶数)．

可以理解为每按\(1\)次，其周围的数字就加\(1\)，最终变成\((1,1)\)为奇数，其余\(8\)格都为偶数．

另外，九宫格中有三种型：

\(A\)型：每按\(1\)次，总和\(+3\)

\(B\)型：每按\(1\)次，总和\(+4\)

\(C\)型：每按\(1\)次，总和\(+5\)

假设\(A\)型按了\(x\)次，\(B\)型按了\(y\)次，\(C\)型按了\(z\)次

则此时总和增加了\(3x+4y+5z\)(其中\(x,y,z\)为非负整数)

切入点：需按开关的最少次数——\((1,1)\)按\(1\)次，其余按\(2\)次，看能否找到这样的情况

此时，有：\(3x+4y+5z=1+2×8=17\)

情况1：\(z=0\)时，\(3x+4y=17\)，列举\(x\)得\(z=0,x=3,y=2\)

下面填表：先抓住\(x=3\)，属于\(3\)个\(A\)型，四个角随便选三个都一样，不妨右下角不选

再考虑\(y=2\)，即\(2\)个\(B\)型

此情况能找到例子，因此\(5\)次能够完成

情况2：\(z=1\)时，\(3x+4y=12\)，有

（1）\(z=1，x=4，y=0\)，如图，不管\(x=4\)怎么按，最中间一个始终是\(1\)，显然不满足题意

（2）\(z=1，x=0，y=3\)，如图，\(y=3（3000，2100，1110）\)，显然都不满足题意

情况3： \(z=2\)时，\(3x+4y=7\)，有\(z=2,x=1,y=1\)，

如图，其中\(z=2\)可以不画（因为其周围状态相当于没变）

显然随便怎么放都不满足题意

综上所述，需按开关的最少次数为\(5\)