2023年四省联考数学第16题

【2023年四省联考数学第16题】下图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关\(1\)次,将导致自身和所有相邻的开关改变状态.例如,按\((2,2)\)将导致\((1,2)\),\((2,1)\),\((2,2)\),\((2,3)\),\((3,2)\)改变状态.如果要求只改变\((1,1)\)的状态,则需按开关的最少次数为_______ .

2023年四省联考数学第16题

【分析】

用数学的眼光观察世界:引进符号系统

假设最开始的状态都为\(0\)(偶数).

2023年四省联考数学第16题

可以理解为每按\(1\)次,其周围的数字就加\(1\),最终变成\((1,1)\)为奇数,其余\(8\)格都为偶数.

另外,九宫格中有三种型:

2023年四省联考数学第16题

\(A\)型:每按\(1\)次,总和\(+3\)

\(B\)型:每按\(1\)次,总和\(+4\)

\(C\)型:每按\(1\)次,总和\(+5\)

假设\(A\)型按了\(x\)次,\(B\)型按了\(y\)次,\(C\)型按了\(z\)次

则此时总和增加了\(3x+4y+5z\)(其中\(x,y,z\)为非负整数)

切入点:需按开关的最少次数——\((1,1)\)按\(1\)次,其余按\(2\)次,看能否找到这样的情况

此时,有:\(3x+4y+5z=1+2×8=17\)

情况1:\(z=0\)时,\(3x+4y=17\),列举\(x\)得\(z=0,x=3,y=2\)

下面填表:先抓住\(x=3\),属于\(3\)个\(A\)型,四个角随便选三个都一样,不妨右下角不选

2023年四省联考数学第16题

再考虑\(y=2\),即\(2\)个\(B\)型

此情况能找到例子,因此\(5\)次能够完成

情况2:\(z=1\)时,\(3x+4y=12\),有

(1)\(z=1,x=4,y=0\),如图,不管\(x=4\)怎么按,最中间一个始终是\(1\),显然不满足题意

2023年四省联考数学第16题

(2)\(z=1,x=0,y=3\),如图,\(y=3(3000,2100,1110)\),显然都不满足题意

2023年四省联考数学第16题

情况3: \(z=2\)时,\(3x+4y=7\),有\(z=2,x=1,y=1\),

如图,其中\(z=2\)可以不画(因为其周围状态相当于没变)

2023年四省联考数学第16题

显然随便怎么放都不满足题意

综上所述,需按开关的最少次数为\(5\)

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