【例1】判断函数\( f(x)=ln(x+1)-ax \)的单调性.
【解析】\( f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-a(x>-1) \)
特殊情况：注意到\( \dfrac{1}{x+1}>0 \)，当\( a\leqslant0 \)时，\( f'(x)>0 \)恒成立，这就是特殊情况。因此本题可以分特殊情况与一般情况进行讨论。
（1）当\( a\leqslant0 \)时，\( f'(x)>0 \)，故\( f(x) \)在\( (-1,+\infty) \)上单调递增；
（2）当\( a>0 \)时，令\( f'(x)=0 \)得\( x=\dfrac{1}{a}-1>-1 \)，注意到\( f'(x) \)在\( (-1,+\infty) \)上单调递增，故
当\( -1<x<\dfrac{1}{a}-1 \)时，\( f'(x)<0 \)；
当\( x>\dfrac{1}{a}-1 \)时，\( f'(x)>0 \)
\( \therefore f(x) \)在\( (-1,\dfrac{1}{a}-1) \)上单调递减；在\( (\dfrac{1}{a}-1,+\infty) \)上单调递增.
【点评】求导后要注意是否有特殊情况？是否知道导函数的单调性和零点？
【例2】已知\( f(x)=\dfrac{1}{x}-x+alnx \)，判断\( f(x) \)的单调性.
【解析】\( f(x) \)的定义域为\( (0,+\infty) \)，
\( f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-1+\dfrac{a}{x}=-\dfrac{x^2-ax+1}{x^2}=-\dfrac{x+\dfrac{1}{x}-a}{x} \)
注意到\( x>0，且x+\dfrac{1}{x}\geqslant2 \)【本题有特殊情况，可分特殊情况与一般情况讨论】
（1）当\( a\leqslant2 \)时，\( x+\dfrac{1}{x}-a\geqslant0 \)，\( \therefore f'(x)<0 \),\( \therefore f(x) \)在\( (0,+\infty) \)上单调递减；
（2）当\( a>2 \)时，令\( f'(x)=0 \)得\( x^2-ax+1=0 \)，其判别式\( \Delta=a^2-4>0 \)，
\( x^2-ax+1=0 \)的根\( x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \)，且满足\( 0<x_1<x_2\)
令\( f'(x)>0 \)得\( x_1<x<x_2\)；令\( f'(x)<0 \)得\( 0<x<x_1或x>x_2 \)
\( \therefore f(x) \)在\( (0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}),(\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2},+\infty) \)上单调递减；
在\( (\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}) \)上单调递增.
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