2021新高考Ⅱ卷数学第21题

［2021新高考Ⅱ卷第21题（回忆卷）］一种微生物群体可以经过自然繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，．．．，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设\(X\)表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，\(P(X = i) = {p_i}\)（\(i = 0,1,2,3\)），\({p_i}>0\)．

（1）已知\({p_0} = 0.4\)，\({p_1} = 0.3\)，\({p_2} = 0.2\)，\({p_3} = 0.1\)，求\(E(X)\)；

（2）设\(p\)表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，\(p\)是关于\(x\)的方程：

\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)

的一个最小正实根，求证：当\(E(X) \le 1\)时，\(p = 1\)，当\(E(X)>1\)时，\(0<p<1\)；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

解答任何一个数学题目之前，都要先进行分析。尤其是较难的题目，分析显得尤为重要。我们知道，解决数学问题，实际上就是在题目的已知条件和待求结论之间架起联系的桥梁，也就是在分析题目中已知与所求之间的差异的基础上，化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出学生对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。

［条件］方程  最小  正实根  \(E(X)\)

［结论］证明：当\(E(X) \le 1\)时，\(p = 1\)

［思路］可以从条件入手，首先，研究范畴为方程；其次，正实根，可以观察出一个根（利用分布列的性质）；最后，最小的正实根。另外，从结论入手。\(E(X)\)的表达式与方程对比，类似与二项式定理通过赋值法求系数和的原理。只是要注意到系数并不都是1，而与多项式的次数有关，从而想到求导。

［解析］（1）根据期望的定义

\(E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.1 = 1\)

（2）由分布列的性质可知：\({p_0} + {p_1} + {p_2} + {p_3} = 1\)

因此\(x = 1\)是方程\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)的一个根

由于\(p\)是方程\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)的一个最小正实根，故\(0<p \le 1\)

\(E(X) = 0 \times {p_0} + 1 \times {p_1} + 2 \times {p_2} + 3 \times {p_3} = {p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}\)

\(p = {p_0} + {p_1}p + {p_2}{p^2} + {p_3}{p^3}\)，两边同时对\(p\)求导得，\(1 = {p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2}\)

①若\(E(X) \le 1\)，则\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3} \le 1\)

从而\(1 = {p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2} \ge {p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}\)，整理得\((p – 1)[2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)] \ge 0\)

由于\(2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)>0\)，故\(p – 1 \ge 0\)，即\(p \ge 1\)，

而\(0<p \le 1\)，故\(p = 1\)

②若\(E(X)>1\)，则\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}>1\)，故\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}>{p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2}\)

整理得\((p – 1)[2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)]<0\),由于\(2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)>0\)，故\(p – 1<0\)，即\(0<p<1\)得证

（3）（2）的结论说明如果1个微生物繁殖下一代的平均繁殖个数不超过1，该微生物必然会走向灭绝，当1个微生物繁殖下一代的平均繁殖个数超过1时，有几率经过多代繁殖后面料灭绝，且平均繁殖个数越大，经过多代繁殖灭绝的可能性越小。