2021新高考Ⅱ卷数学第21题

[2021新高考Ⅱ卷第21题(回忆卷)]一种微生物群体可以经过自然繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,...,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的,且有相同的分布列,设\(X\)表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,\(P(X = i) = {p_i}\)(\(i = 0,1,2,3\)),\({p_i}>0\).

(1)已知\({p_0} = 0.4\),\({p_1} = 0.3\),\({p_2} = 0.2\),\({p_3} = 0.1\),求\(E(X)\);

(2)设\(p\)表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,\(p\)是关于\(x\)的方程:

\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)

的一个最小正实根,求证:当\(E(X) \le 1\)时,\(p = 1\),当\(E(X)>1\)时,\(0<p<1\);

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

解答任何一个数学题目之前,都要先进行分析。尤其是较难的题目,分析显得尤为重要。我们知道,解决数学问题,实际上就是在题目的已知条件和待求结论之间架起联系的桥梁,也就是在分析题目中已知与所求之间的差异的基础上,化归和消除这些差异。当然在这个过程中也反映出学生对数学基础知识掌握的熟练程度、理解程度和数学方法的灵活应用能力。

[条件]方程  最小  正实根  \(E(X)\)

[结论]证明:当\(E(X) \le 1\)时,\(p = 1\)

[思路]可以从条件入手,首先,研究范畴为方程;其次,正实根,可以观察出一个根(利用分布列的性质);最后,最小的正实根。另外,从结论入手。\(E(X)\)的表达式与方程对比,类似与二项式定理通过赋值法求系数和的原理。只是要注意到系数并不都是1,而与多项式的次数有关,从而想到求导。

[解析](1)根据期望的定义

\(E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.1 = 1\)

(2)由分布列的性质可知:\({p_0} + {p_1} + {p_2} + {p_3} = 1\)

因此\(x = 1\)是方程\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)的一个根

由于\(p\)是方程\({p_0} + {p_1}x + {p_2}{x^2} + {p_3}{x^3} = x\)的一个最小正实根,故\(0<p \le 1\)

\(E(X) = 0 \times {p_0} + 1 \times {p_1} + 2 \times {p_2} + 3 \times {p_3} = {p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}\)

\(p = {p_0} + {p_1}p + {p_2}{p^2} + {p_3}{p^3}\),两边同时对\(p\)求导得,\(1 = {p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2}\)

①若\(E(X) \le 1\),则\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3} \le 1\)

从而\(1 = {p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2} \ge {p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}\),整理得\((p – 1)[2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)] \ge 0\)

由于\(2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)>0\),故\(p – 1 \ge 0\),即\(p \ge 1\),

而\(0<p \le 1\),故\(p = 1\)

②若\(E(X)>1\),则\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}>1\),故\({p_1} + 2{p_2} + 3{p_3}>{p_1} + 2{p_2}p + 3{p_3}{p^2}\)

整理得\((p – 1)[2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)]<0\),由于\(2{p_2} + 3{p_3}(p + 1)>0\),故\(p – 1<0\),即\(0<p<1\)得证

(3)(2)的结论说明如果1个微生物繁殖下一代的平均繁殖个数不超过1,该微生物必然会走向灭绝,当1个微生物繁殖下一代的平均繁殖个数超过1时,有几率经过多代繁殖后面料灭绝,且平均繁殖个数越大,经过多代繁殖灭绝的可能性越小。

原创文章,作者:leopold,如若转载,请注明出处:https://www.math211.com/2021/06/08/311/

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