条件概率的概念及其计算

一、条件概率的概念

在事件A发生的条件下，事件B发生，记为事件B|A，其概率称为条件概率，记为P(B|A)，读作：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。

二、计算公式

\[ P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)} \]【适用于已知概率的情况】

\[ P(B|A)=\dfrac{n(AB)}{n(A)} \]【适用于古典概型】

三、典例分析

【例1】盒中有大小形状相同的6个小球，其中4个红球，2个白球，从中依次取2个球，已知第一次取到的是红球，则第二次取到红球的概率是________.

【解析】这是一个条件概率，

思路1：设事件A：“第一次取到红球”，事件B：“第二次取到红球”

则AB：“两次都取到红球”，故

\[ P(B|A)=\dfrac{n(AB)}{n(A)}=\dfrac{A_4^2}{A_4^1A_2^1+A_4^2}=\dfrac{3}{5} \]

思路2：在第一次取到红球已经发生时，盒子中还剩3个红球，2个白球，此时，再取一个球，是红球的概率为

\[ P=\dfrac{3}{5} \]

【例2】盒中有大小形状相同的6个小球，其中4个红球，2个白球，从中取2个球，已知取到其中一个球是红球，则另一个球也是红球的概率是________.

【解析】设事件A：“第一次取到红球”，事件B：“第二次取到红球”

则

\[ P(B|A)=\dfrac{n(AB)}{n(A)}=\dfrac{C_4^2}{C_4^1C_2^1+C_4^2}=\dfrac{3}{7} \]

此题不能用【例1】的思路2，这两个题的区别是：【例1】要考虑顺序，是排列问题；【例2】不考虑顺序，是组合问题。只有考虑顺序时，用思路2求解才是正确的。至于是否考虑顺序，由题目中的试验所确定，【例1】的试验是“从6个球中依次取2个球”，要考虑取到的球在哪一次，与顺序有关；【例2】的试验是“从6个球中取两个球”，只管取到哪两个球，不考虑顺序。